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| Kurt Gödel |
A
finales del siglo XIX, Friedrich Ludwig Gottlob Frege, profesor de la
universidad de Viena, emprendió un programa ambicioso: formalizar la aritmética
mediante unos pocos axiomas y unas pocas reglas de deducción, de modo que todo
teorema verdadero pudiese deducirse de los axiomas mediante cierto número de
aplicaciones de las reglas de deducción. El resultado fue un libro monumental, Grundgesetze der
Arithmetike (1893-1903), que entre otras cosas formalizó la
teoría de conjuntos con una notación engorrosa, que pronto fue sustituida por
la de Peano, que es la que usamos ahora.
Desgraciadamente para Frege, cuando estaba a punto de publicarse el segundo tomo de su libro, Bertrand Russell le envió una carta en la que demostraba que su formulación de la teoría de conjuntos daba pie a una inconsistencia. En la teoría de Frege, un conjunto puede pertenecer a otro conjunto. En particular, algunos conjuntos no pertenecen a sí mismos (como el conjunto de los números enteros, que no es un número entero), mientras otros sí pertenecen a sí mismos (como el conjunto de todos los conjuntos infinitos, que es infinito). Russell señaló que es posible definir el conjunto de todos los conjuntos que no pertenecen a sí mismos. Este conjunto lleva a una paradoja: si pertenece a sí mismo, no pertenece, y viceversa. La paradoja de Russell acabó con la obra de Frege, que tuvo que añadir apresuradamente un apéndice a su libro y abandonó la investigación sobre los fundamentos de las matemáticas.
