Los límites de las matemáticas

Kurt Gödel

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A finales del siglo XIX, Friedrich Ludwig Gottlob Frege, profesor de la universidad de Viena, emprendió un programa ambicioso: formalizar la aritmética mediante unos pocos axiomas y unas pocas reglas de deducción, de modo que todo teorema verdadero pudiese deducirse de los axiomas mediante cierto número de aplicaciones de las reglas de deducción. El resultado fue un libro monumental, Grundgesetze der Arithmetike (1893-1903), que entre otras cosas formalizó la teoría de conjuntos con una notación engorrosa, que pronto fue sustituida por la de Peano, que es la que usamos ahora.

Desgraciadamente para Frege, cuando estaba a punto de publicarse el segundo tomo de su libro, Bertrand Russell le envió una carta en la que demostraba que su formulación de la teoría de conjuntos daba pie a una inconsistencia. En la teoría de Frege, un conjunto puede pertenecer a otro conjunto. En particular, algunos conjuntos no pertenecen a sí mismos (como el conjunto de los números enteros, que no es un número entero), mientras otros sí pertenecen a sí mismos (como el conjunto de todos los conjuntos infinitos, que es infinito). Russell señaló que es posible definir el conjunto de todos los conjuntos que no pertenecen a sí mismos. Este conjunto lleva a una paradoja: si pertenece a sí mismo, no pertenece, y viceversa. La paradoja de Russell acabó con la obra de Frege, que tuvo que añadir apresuradamente un apéndice a su libro y abandonó la investigación sobre los fundamentos de las matemáticas.

Las tres leyes de la Robótica

Isaac Asimov

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Isaac Asimov fue un prolífico escritor de ciencia-ficción y divulgación científica que en los años 40 del siglo XX publicó una serie de cuentos sobre robots, posteriormente recopilados en la colección Yo Robot. En estos cuentos inventó una palabra que ha pasado al vocabulario tecnológico, como nombre de una disciplina: Robótica. Además formuló las tres famosas leyes de la Robótica, que en su opinión deberían implementarse en todos los robots para hacer posible nuestra seguridad en las interacciones con estas máquinas que, cuando Asimov formuló las leyes, eran simples previsiones de futuro.

Las tres leyes de la Robótica son las siguientes:

Primera Ley: Un robot no causará daño a un ser humano, ni permaneciendo inactivo permitirá que un ser humano sufra daño.

Segunda Ley: Un robot obedecerá cualquier orden que le dé un ser humano, excepto aquellas que se opongan a la primera ley.

Tercera Ley: Un robot protegerá su propia existencia e integridad, excepto en aquellas situaciones que se opongan a las dos primeras leyes.

Gödel y el realismo

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Kurt Gödel

Kurt Gödel (1906-1978) fue uno de los matemáticos más importantes del siglo XX. En 1931, cuando tenía 25 años, saltó a la fama al demostrar matemáticamente que el intento de construir un sistema axiomático completo a partir del cual pueda deducirse toda la aritmética de los números naturales, o cualquier sistema equivalente, está condenado al fracaso.

Su primer teorema de incompletitud dice esto:

Todo sistema formal consistente y con potencia semejante a la de la aritmética elemental, no es completo (contiene proposiciones verdaderas indecidibles).

Veamos una demostración informal simplificada:

Sea el Teorema G, que dice lo siguiente: Este teorema G no se puede demostrar partiendo de los axiomas y las reglas del sistema S.

• Si suponemos que el teorema G es falso, el sistema S es inconsistente, pues a partir de los axiomas y reglas de S se podría demostrar un teorema falso.
• Luego si S es consistente, G tiene que ser verdadero, y por tanto no se puede demostrar a partir de los axiomas de S.
  

El teorema de Gödel demuestra que toda formalización axiomática de la aritmética, o bien es inconsistente (permite demostrar teoremas falsos), o bien es incompleta (contiene teoremas verdaderos que no se pueden demostrar).