Física, Matemáticas y Física Matemática

Eugene Wigner

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Eugene Paul Wigner fue un físico húngaro que recibió en 1963 el Premio Nobel de Física por su contribución a la teoría del núcleo atómico y de las partículas elementales. En un artículo famoso, publicado en 1960, Wigner dijo:

Es importante señalar que la formulación matemática basada en las experiencias rudimentarias del físico lleva en un inusual número de casos a una descripción asombrosamente precisa de una clase amplia de fenómenos. (“The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences”. Communications on Pure and Applied Mathematics 13: 1-14).

Inteligencia computacional y consciencia

Eduardo César Garrido Merchán

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En los últimos años ha habido avances considerables en inteligencia artificial, especialmente en el campo de la generación automática de textos e imágenes que a veces compiten con éxito con las producciones humanas. Ante esto, los medios, e incluso algunos científicos, han lanzado las campanas al vuelo anunciando que estamos a punto de crear inteligencias artificiales conscientes, que competirían con los seres humanos como iguales nuestros. Pero otros piensan que ese objetivo, si fuera posible (lo que no está claro), está mucho más lejos de lo que algunos piensan.

En un artículo firmado por Eduardo César Garrido Merchán y Sara Lumbreras y publicado en la revista philosophies con el título Can Computational Intelligence Model Phenomenal Consciousness, los autores revisan la analogía de Bertrand Russell, que sostiene que la consciencia y la inteligencia están íntimamente correlacionadas. O sea, que cualquier ente que posea consciencia poseerá también un alto nivel de inteligencia, y viceversa. En cierto modo, esta analogía es semejante a la Prueba de Turing, mucho más conocida.

Los límites de las matemáticas

Kurt Gödel

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A finales del siglo XIX, Friedrich Ludwig Gottlob Frege, profesor de la universidad de Viena, emprendió un programa ambicioso: formalizar la aritmética mediante unos pocos axiomas y unas pocas reglas de deducción, de modo que todo teorema verdadero pudiese deducirse de los axiomas mediante cierto número de aplicaciones de las reglas de deducción. El resultado fue un libro monumental, Grundgesetze der Arithmetike (1893-1903), que entre otras cosas formalizó la teoría de conjuntos con una notación engorrosa, que pronto fue sustituida por la de Peano, que es la que usamos ahora.

Desgraciadamente para Frege, cuando estaba a punto de publicarse el segundo tomo de su libro, Bertrand Russell le envió una carta en la que demostraba que su formulación de la teoría de conjuntos daba pie a una inconsistencia. En la teoría de Frege, un conjunto puede pertenecer a otro conjunto. En particular, algunos conjuntos no pertenecen a sí mismos (como el conjunto de los números enteros, que no es un número entero), mientras otros sí pertenecen a sí mismos (como el conjunto de todos los conjuntos infinitos, que es infinito). Russell señaló que es posible definir el conjunto de todos los conjuntos que no pertenecen a sí mismos. Este conjunto lleva a una paradoja: si pertenece a sí mismo, no pertenece, y viceversa. La paradoja de Russell acabó con la obra de Frege, que tuvo que añadir apresuradamente un apéndice a su libro y abandonó la investigación sobre los fundamentos de las matemáticas.

Teología matemática

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Ernst Zermelo

Ernst Zermelo (1871-1953) fue un matemático famoso de principios del siglo XX. Entre sus logros, podemos mencionar los siguientes:

• En 1899 descubrió la paradoja de Russell, dos años antes que Russell. Aunque no la publicó, sí la comentó con sus colegas de la Universidad de Göttingen, entre los que estaba David Hilbert. La paradoja de Russell demuestra que la teoría de conjuntos de Cantor es inconsistente, pues permite construir el conjunto de todos los conjuntos que no pertenecen a sí mismos. Veamos: hay conjuntos que no pertenecen a sí mismos, como el de los números pares; ese conjunto no es un número par. Otros sí pertenecen a sí mismos, como el conjunto de los conjuntos infinitos, que es un conjunto infinito. Ahora nos preguntamos: ¿Pertenece a sí mismo el conjunto de todos los conjuntos que no pertenecen a sí mismos? Esta pregunta nos lleva a una paradoja: si pertenece, no pertenece; y si no pertenece, sí pertenece.
• En 1904 demostró el teorema del buen orden, como primer paso hacia la demostración de la hipótesis del continuo, el primero de los 23 problemas sin resolver de Hilbert. El teorema del buen orden afirma que todo conjunto puede ser bien ordenado, lo que quiere decir que todo subconjunto ordenado no vacío debe tener un elemento mínimo. Para demostrarlo, propuso el axioma de elección, del que hablaremos a continuación.
• En 1905 comenzó a trabajar en la axiomatización de la teoría de conjuntos. Su sistema, mejorado en 1922 por Adolf Fraenkel, es un conjunto de 8 axiomas, que hoy se llama sistema de Zermelo-Fraenkel (ZF). Añadiendo a este sistema el axioma de elección, obtenemos el sistema ZFC, el más utilizado hoy día en la teoría de conjuntos.

El debate del realismo y el anti-realismo

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Gottlob Frege

El debate secular entre realismo y nominalismo o anti-realismo, nombre preferido ahora, se ha plasmado en varias teorías nuevas de la llamada filosofía analítica, cuyo origen se remonta a principios del siglo XX con Gottlob Frege, Bertrand Russell, Ludwig Wittgenstein, el Círculo de Viena y varios nombres del último medio siglo, que han surgido especialmente en el mundo anglosajón.

En la actualidad, los dos campos, realista y anti-realista, están de acuerdo en una cosa: que la ciencia funciona. Pero aunque esto se considera un hecho incontrovertible, para explicarlo se plantean posturas muy divergentes.

Como siempre ha ocurrido a lo largo de la historia, ninguno de los dos campos está unido. Tanto el realismo como el anti-realismo se dividen en dos ramas, por lo menos.

Empecemos por describir la postura realista:

Cuatro ideas de Alvin Plantinga sobre Dios y el materialismo

Alvin Plantinga

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Con ocasión de la concesión del Premio Templeton al filósofo estadounidense Alvin Plantinga, viene a cuento repasar algunos de sus pensamientos más importantes en el debate entre teísmo y materialismo. Como es imposible entrar con detalle en toda su obra, que es muy extensa, citaré únicamente cuatro de sus ideas:

1.      El argumento de Mozart en favor de la existencia de Dios. ¿Por qué somos capaces de apreciar la belleza? Según la hipótesis materialista, es inexplicable que la evolución nos haya llevado a esto, pues no se ve cómo podría resultar útil este rasgo para nuestra supervivencia. En vez de la buena música, deberíamos apreciar la cacofonía, que abunda más en la naturaleza. Desde la hipótesis de la existencia de Dios, sin embargo, es fácil explicarlo, partiendo de que Dios aprecia la belleza (de hecho, Dios es la belleza). Este argumento, junto a otros muchos, se encuentra en esta dirección de la Web.

El mito de la Edad Oscura

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Bertrand Russell

Haciéndose eco del mito de la Edad Oscura, nombre aplicado por primera vez a la Edad Media europea por los escritores de la ilustración, Bertrand Russell escribió estas palabras en su libro Wisdom of the West (1959):

A medida que decaía la autoridad central de Roma, las tierras del Imperio de Occidente empezaron a hundirse en una era de barbarie, durante la cual Europa sufrió un declive cultural generalizado. La Edad Oscura... No es inadecuado llamar a estas épocas oscuras, especialmente si se comparan con lo que vino antes y lo que vino después.

Lo que vino antes fue el Imperio Romano; lo que vino después, el Renacimiento.

El mito de la Edad Oscura lo inventaron los escritores de la primera mitad del siglo XVIII para dar fuerza a otro mito que ellos mismos crearon, según el cual con ese siglo estábamos entrando en una nueva era, la de la razón y el conocimiento, especialmente el científico, a la que dieron el nombre de la Ilustración.

En el Diccionario Espasa 1.000 grandes científicos (1996) propuse una cuantificación objetiva de la importancia de los distintos practicantes de la ciencia, utilizando para ello medidas como el número de líneas que se les asigna en enciclopedias de distintos países (para evitar el sesgo a favor de los compatriotas). Posteriormente, en una obra aún no publicada (La cuantificación de la historia y el futuro de Occidente), apliqué el mismo procedimiento a varias ramas de la creatividad humana: ciencia, filosofía, literatura, artes plásticas y música. La figura adjunta representa la evolución de la ciencia greco-romana y occidental hasta el final de la Edad Media. Puede observarse lo siguiente:

El dios de los huecos

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En 1977 Pergamon Press publicó un libro muy curioso titulado La enciclopedia de la ignorancia, que intentaba reunir, en forma de colección de artículos escritos por especialistas en las distintas áreas, la mayor parte de los problemas aún sin resolver (por entonces) en campos como la cosmología, la astronomía, la física de partículas, las matemáticas, la evolución, la ecología, el desarrollo de los organismos, la medicina y la sociología. Algunos de esos problemas siguen sin haber sido resueltos casi 40 años después, otros parecen haber entrado en vías de solución, como el misterio de los neutrinos desaparecidos en la radiación solar, que mencioné en el artículo anterior, lo que ha dado lugar a la aparición de nuevos problemas, como suele ocurrir frecuentemente en la ciencia.

Desde el siglo XIX, una de las acusaciones típicas de los ateos contra los creyentes ha sido la de recurrir al dios de los huecos, o sea, utilizar a Dios para explicar las cosas que aún desconocemos sobre la estructura del mundo. Aún estamos muy lejos de saberlo todo, porque la ciencia es (y probablemente siempre será) incompleta, siempre quedarán misterios. Pues bien, se acusa a los creyentes de apoyarse precisamente en los misterios (los huecos de la ciencia) para justificar la existencia de Dios. Según ese punto de vista, Dios no sería más que un tapa-agujeros, el deus ex machina de la tramoya greco-romana, que venía a resolver los problemas insolubles en que el dramaturgo había enredado a sus personajes. A medida que avance la ciencia, los agujeros irán llenándose y la necesidad de recurrir a Dios disminuirá.