¿Se puede asignar probabilidad a cualquier cosa?

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En el artículo anterior hablé del libro Radical Uncertainty: Decision Making Beyond the Numbers de Mervyn King y John Kay. El libro, escrito por dos economistas británicos de prestigio, arremete contra el mal uso de la estadística y el cálculo de probabilidades en campos donde no siempre son aplicables, como la historia, la economía y el derecho. Veamos algunos casos:

• ¿Qué quiere decir si se afirma que el Real Madrid tiene un 90% de probabilidades de ganar el próximo partido? Una posible interpretación es que, si el partido se repitiera cien veces, con los mismos jugadores y las mismas condiciones meteorológicas y el mismo árbitro, el Real Madrid ganaría 90 veces, y empataría o perdería las otras diez. Pero el partido se va a jugar una sola vez. ¿Tiene sentido hablar de probabilidades? No, porque no hay datos de frecuencias en que apoyarse. Lo que esa frase quiere decir es que la persona que habla cree que ganará el Real Madrid. Nada más. Es una probabilidad subjetiva. Milton Friedman escribió: Podemos suponer que cualquier persona asignará probabilidades a cualquier suceso concebible. (Price Theory, 1962).

Probabilidad cero

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En un artículo anterior mencioné que un suceso puede ocurrir una o varias veces, aunque la probabilidad de que ocurra sea cero. La probabilidad de un suceso se define como el cociente del número de casos favorables por el de casos posibles. Por consiguiente, si el número de casos posibles es infinito, siendo finito el de casos favorables, la probabilidad resulta ser cero.

A primera vista parece increíble que un suceso que tiene probabilidad cero pueda llegar a suceder. Creo que la cosa quedará más clara con un ejemplo sencillo. Supongamos que dos amigos, A y B, están hablando, y lo que dicen es esto:

A: Si te pido que elijas un número entre 1 y 100, ¿cuál es la probabilidad de que elijas uno concreto, por ejemplo, 25?

B: 1/100, evidentemente.

A: Si te pido que elijas un número entre 1 y 1000, ¿cuál es la probabilidad de que elijas 25?

B: 1/1000.

A: Si te pido que elijas un número entre 1 y 10000, ¿cuál es la probabilidad de que elijas 25?

B: 1/10000.

A: Si te pido que elijas un número entero positivo cualquiera, ¿cuál es la probabilidad de que elijas 25?

B: Cero, porque el conjunto de los números enteros tiene infinitos elementos, y uno dividido por infinito es igual a cero.

A: Elije un número cualquiera entre todos los enteros positivos y dime cuál has elegido.

B: Elijo 2²⁵⁰⁰-1.

A: Acabas de realizar un suceso cuya probabilidad es cero.

Pensando un poco se verá que la probabilidad de elegir, de entre todos los números enteros, un conjunto finito cualquiera, por grande que sea, también es cero. Así por ejemplo:

A: Si te pido que elijas diez números distintos entre uno y cien, ¿cuál es la probabilidad de que elijas precisamente los números comprendidos entre 11 y 20? (El orden no importa)

B: 1/17.310.309.456.440

A: Y si te pido que elijas diez números distintos entre todos los enteros positivos, ¿cuál es la probabilidad de que elijas precisamente los números comprendidos entre 11 y 20?

B: Cero.

Dejo para el lector curioso la justificación de por qué la probabilidad de elegir los números comprendidos entre 11 y 20 entre los números uno y cien es precisamente la que ha dicho B.

Para terminar este artículo, voy a proponer algunos ejercicios más para el lector. Quien los resuelva, tiene la oportunidad de escribir un comentario explicando cómo ha obtenido la solución.

1.      ¿Cuál es la última cifra de 6²⁵⁰⁰?

2.      ¿Cuál es la penúltima cifra de 6²⁵⁰⁰?

3.      ¿Cuál es la penúltima cifra de 6^1.000.000?

4.      ¿Cuál es la probabilidad de que la última cifra de 6ⁿ sea impar?

5.      ¿Cuál es la probabilidad de que la penúltima cifra de 6ⁿ sea impar?

Vincent Pantaloni, CC BY-SA 4.0, Wikimedia Commons

Hilo Matemáticas y Estadística: Anterior Siguiente

Manuel Alfonseca

Felices vacaciones. Hasta septiembre

El mono que aporreaba una máquina de escribir

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En relación con el problema del ajuste fino, el argumento del mono mecanógrafo ha sido utilizado muy a menudo como indicación de que incluso sucesos muy poco probables pueden llegar a ocurrir de forma espontánea. Dependiendo de quién sea el autor de la cita, lo que escribe el mono puede ser las obras completas de Shakespeare, el Quijote, o incluso una obra más breve y menos específica. Por ejemplo, John Leslie, en su libro Universes, citado por Michael Heller en su artículo Caos, probabilidad y la comprensibilidad del mundo (Dios y las cosmologías modernas, F.J.Soler Gil, editor, 2005), escribe lo siguiente:

Nuestro universo puede realmente parecer como si estuviera diseñado. Pero en realidad puede ser meramente del tipo de cosas que se esperan más pronto o más tarde. Dejándolo un número suficiente de años con una máquina de escribir, incluso un mono escribiría un soneto.

El problema del ajuste fino

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En dos artículos publicados previamente he hablado de la relación entre las teorías del multiverso y el problema del ajuste fino, señalando que dichas teorías no resuelven el problema. Este artículo describe brevemente en qué consiste ese problema.

Brandon Carter

En 1973, Brandon Carter formuló el principio antrópico, nombre que después ha sido deplorado por su autor, por prestarse a malos entendidos. Dicho principio no es más que la constatación de que el universo debe cumplir todas las condiciones necesarias para nuestra existencia, puesto que nosotros estamos aquí.

Algo más de una década más tarde, John Barrow y Frank Tipler publicaron un libro titulado El principio antrópico cosmológico,  en el que plantearon una versión más fuerte del principio antrópico, según la cual las constantes del universo tienen valores muy críticos, y variaciones mínimas en dichos valores harían imposible la vida. Esta constatación plantea el problema del ajuste fino, que se basa en el análisis del efecto que tendría un cambio en los valores de esas constantes. Con otras palabras: el universo parece diseñado para que sea posible la vida. Veamos algunos ejemplos: 

La probabilidad de la existencia de inteligencia extraterrestre

Distribución estadística normal.
El texto se refiere a una distribución uniforme.

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La probabilidad es un concepto matemático bien conocido que se definió inicialmente para cuantificar datos aleatorios en entornos matemáticamente conocidos. Después se ha ido extendiendo a otras situaciones.

Por ejemplo, la probabilidad de que el próximo coche que pase a mi lado tenga una matrícula con las cuatro cifras iguales se calcula dividiendo el número de casos favorables entre el número de casos posibles. El número de casos favorables es diez: 0000, 1111, 2222, ... , 9999. El número de casos posibles es diez mil: 0000, 0001, 0002, ... , 9998, 9999, con una distribución uniforme. Luego la probabilidad mencionada es igual a una milésima. No hemos tenido en cuenta la posible retirada de vehículos de la circulación, que constituye un proceso aleatorio independiente que no debería afectar significativamente el resultado del cálculo.

El problema es que, muchas veces, puede interesar cuantificar los datos en entornos matemáticamente desconocidos. Esto puede ocurrir, por ejemplo, cuando se desconoce el número de casos favorables, o el número de casos posibles, o ambos a la vez. En tales situaciones puede interesar realizar estimaciones de los datos desconocidos, con más o menos incertidumbre. Se habla entonces de probabilidad a priori.