Probabilidad cero

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En un artículo anterior mencioné que un suceso puede ocurrir una o varias veces, aunque la probabilidad de que ocurra sea cero. La probabilidad de un suceso se define como el cociente del número de casos favorables por el de casos posibles. Por consiguiente, si el número de casos posibles es infinito, siendo finito el de casos favorables, la probabilidad resulta ser cero.

A primera vista parece increíble que un suceso que tiene probabilidad cero pueda llegar a suceder. Creo que la cosa quedará más clara con un ejemplo sencillo. Supongamos que dos amigos, A y B, están hablando, y lo que dicen es esto:

A: Si te pido que elijas un número entre 1 y 100, ¿cuál es la probabilidad de que elijas uno concreto, por ejemplo, 25?

B: 1/100, evidentemente.

A: Si te pido que elijas un número entre 1 y 1000, ¿cuál es la probabilidad de que elijas 25?

B: 1/1000.

A: Si te pido que elijas un número entre 1 y 10000, ¿cuál es la probabilidad de que elijas 25?

B: 1/10000.

A: Si te pido que elijas un número entero positivo cualquiera, ¿cuál es la probabilidad de que elijas 25?

B: Cero, porque el conjunto de los números enteros tiene infinitos elementos, y uno dividido por infinito es igual a cero.

A: Elije un número cualquiera entre todos los enteros positivos y dime cuál has elegido.

B: Elijo 2²⁵⁰⁰-1.

A: Acabas de realizar un suceso cuya probabilidad es cero.

Pensando un poco se verá que la probabilidad de elegir, de entre todos los números enteros, un conjunto finito cualquiera, por grande que sea, también es cero. Así por ejemplo:

A: Si te pido que elijas diez números distintos entre uno y cien, ¿cuál es la probabilidad de que elijas precisamente los números comprendidos entre 11 y 20? (El orden no importa)

B: 1/17.310.309.456.440

A: Y si te pido que elijas diez números distintos entre todos los enteros positivos, ¿cuál es la probabilidad de que elijas precisamente los números comprendidos entre 11 y 20?

B: Cero.

Dejo para el lector curioso la justificación de por qué la probabilidad de elegir los números comprendidos entre 11 y 20 entre los números uno y cien es precisamente la que ha dicho B.

Para terminar este artículo, voy a proponer algunos ejercicios más para el lector. Quien los resuelva, tiene la oportunidad de escribir un comentario explicando cómo ha obtenido la solución.

1.      ¿Cuál es la última cifra de 6²⁵⁰⁰?

2.      ¿Cuál es la penúltima cifra de 6²⁵⁰⁰?

3.      ¿Cuál es la penúltima cifra de 6^1.000.000?

4.      ¿Cuál es la probabilidad de que la última cifra de 6ⁿ sea impar?

5.      ¿Cuál es la probabilidad de que la penúltima cifra de 6ⁿ sea impar?

Vincent Pantaloni, CC BY-SA 4.0, Wikimedia Commons

Hilo Matemáticas y Estadística: Anterior Siguiente

Manuel Alfonseca

Felices vacaciones. Hasta septiembre

Cinco años de Divulciencia

El problema de Aquiles y la Tortuga

Este blog cumple cinco años desde su creación, que tuvo lugar a mediados de enero de 2014. En este tiempo, el número total de visitas a las páginas del blog, sumando las versiones en español y en inglés, supera las 425.000. Si restamos una estimación de las visitas realizadas por bots, las de los seres humanos sobrepasan las 300.000. Por otra parte, su número ha ido creciendo progresivamente, desde las 16.000 visitas del primer año, hasta las 120.000 del quinto.

En este momento, sin contar este, el blog contiene 230 artículos. Es un número bastante alto, suficiente para que el lector se pierda si intenta seguir temas concretos, pues el orden cronológico de los artículos no tiene nada que ver con su orden temático. Como expliqué en un artículo anterior, me ha parecido conveniente establecer una serie de hilos temáticos que permitan seguir los artículos asociados con un tema, desde el principio hasta el final. El trabajo asociado ha sido considerable, pues fue preciso modificar todos y cada uno de los artículos ya publicados, excepto unos pocos, como este mismo, que no pertenecen a ningún hilo.

El número total de hilos temáticos es 22. En el artículo anterior antes mencionado, figuraban los once primeros. Aquí voy a añadir los once restantes. Si no se dice lo contrario, el orden de un hilo es el cronológico de la publicación de los artículos en él incluidos. El enlace asociado al título conduce al primer artículo del hilo. Estos once hilos son los siguientes:

Hilo temático	Nº de artículos	Comentarios
Futurología	16	Predicciones científicas. ¿Se cumplen? A veces sí, a veces no. ¿Hasta qué punto estamos haciendo ciencia? ¿O simplemente abrimos líneas de investigación que nunca se cierran?
Matemáticas	8	Cuestiones relacionadas con la matemática pura. A la matemática aplicada le corresponde el hilo siguiente. Uno de estos artículos, El Problema de Aquiles y la Tortuga, es uno de los más leídos del blog, tanto en su versión española como en la inglesa.
Estadística	9	Usos y abusos de la estadística.
Física de partículas	6	Cuestiones relacionadas con lo enormemente pequeño. ¿Sabemos todo lo que se puede saber? Es evidente que no, y probablemente nunca se conseguirá.
Divulgación científica	10	¿Cómo se divulga la ciencia en los medios de comunicación y en la prensa especializada, como las revistas de alta divulgación? Generalmente mal, pues se cometen numerosos errores.
Filosofía y lógica	10	La lógica es la base fundamental de la ciencia, pero mucha gente no sabe usarla correctamente. Por otra parte, muchos científicos confunden la ciencia con la filosofía y se ponen a filosofar sin saber que lo están haciendo. Lo malo es que luego intentan hacer pasar por ciencia sus elucubraciones filosóficas.
Ciencia y fe	6	Algunas cuestiones científicas relacionadas de uno u otro modo con la fe.
Política y economía	15	Los políticos y la opinión pública adolecen de una enorme ignorancia científica, y lo que es peor, tratan de esconder lo que dice la ciencia cuando se opone a su ideología.
Literatura y cine	17	Cuestiones científicas relacionadas con la ficción, en la novela y en el séptimo arte. Cuatro de los artículos incluidos en este hilo pertenecen al mismo tiempo a otro.
Ciencia en general	14	Artículos que no se refieren a una ciencia concreta, sino al método científico y a los problemas que encuentra.
Lingüística y medicina	8	Este último hilo es un cajón de sastre en el que he metido los artículos que no encajaban en otros hilos. Como justificación, puedo aducir que muchos de los abusos de lenguaje denunciados en algunos de mis artículos tienen que ver con la medicina. Alguno de estos artículos también está entre los más leídos del blog. Como es natural, el ordenamiento de este hilo no es cronológico, sino temático. Dos de los artículos incluidos en este hilo pertenecen al mismo tiempo a otro.

Abuso del lenguaje científico

Estos once hilos contienen 113 artículos, que con los 114 del artículo anterior suman 227. Doce de los artículos pertenecen simultáneamente a dos hilos distintos.

En lo sucesivo, como he venido haciendo desde noviembre, procuraré ir colocando los artículos nuevos en los hilos temáticos que les correspondan.

Hilo Efemérides y Organización: Anterior Siguiente

Manuel Alfonseca

¿Está perdiendo la física el contacto con la realidad?

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En su famoso libro póstumo The discarded image, publicado en 1964, unos meses después de su muerte, C.S.Lewis se adelanta a su tiempo y predice una situación que hoy día, en la ciencia física, se ha convertido en algo usual, y que no augura nada bueno para el porvenir de esta ciencia. Veamos una cita pertinente:

Las matemáticas son ahora lo más cercano a la realidad que podemos obtener. Cualquier cosa imaginable, incluso cualquier cosa que pueda ser manipulada por concepciones ordinarias (es decir, no matemáticas), lejos de ser una verdad más a la que nos llevaron las matemáticas, es una mera analogía, una concesión a nuestra debilidad. Sin parábolas, la física moderna no habla a las multitudes. Incluso entre ellos, cuando tratan de verbalizar sus hallazgos, los científicos empiezan a hablar de esto como "hacer modelos"... A veces [los modelos] ilustran este o aquel aspecto de [la realidad] mediante una analogía. A veces no ilustran, sino que simplemente sugieren, al igual que los dichos de los místicos... Al aceptar [una expresión como] la "curvatura del espacio" no estamos "conociendo" o disfrutando de la "verdad" de la manera que en otro tiempo creímos posible.