El número de oro

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Los griegos conocían desde la antigüedad la llamada sección áurea de un segmento, que no es otra cosa que su división en dos partes, de tal manera que la más larga sea a la más corta, como el segmento total es a la más larga. Consideremos, por ejemplo, el segmento AB. Su división áurea vendrá dada por el punto X si se verifica que AX/XB = AB/AX.

 

A        X     B

Leonardo: el hombre de Vitruvio

Para los griegos, y para muchos de los grandes pintores, la sección áurea o sección de oro divide a un segmento en la forma estéticamente más atractiva. El matemático italiano Lucas Paccioli, que la llamaba la divina proporción, tuvo mucha influencia sobre Leonardo da Vinci y Alberto Durero. En el siglo XX, pintores neo-impresionistas como Seurat han utilizado la sección áurea para definir las dimensiones de algunas de sus composiciones. Arquitectos como le Corbusier utilizaron el número áureo al diseñar sus obras. Y muchos libros publicados en los siglos XVI a XVIII tenían las dimensiones de un rectángulo áureo. El número áureo ha sido utilizado también por músicos como Erik Satie y Debussy, y ha proporcionado materia de reflexión a algunos místicos.

La sección áurea tiene propiedades curiosas. Por ejemplo, se puede construir un rectángulo áureo cuyas dimensiones estén en la proporción áurea (la altura es la sección áurea de la base). Si se le quita a este rectángulo el cuadrado cuyo lado es igual a su altura, el rectángulo que queda, más pequeño, también es áureo. Este efecto puede repetirse indefinidamente a partir del nuevo rectángulo obtenido.

La relación entre la sección áurea de un segmento y su longitud total es fácil de calcular por métodos geométricos. El valor que se obtiene es:

Este es el número áureo o número de oro, un número irracional cuyo valor aproximado es 1,6180339887..., que también tiene propiedades curiosas. Por ejemplo, su inverso es igual a

Su valor aproximado es 0,6180339887..., que es igual al número áureo menos 1.

Los geómetras descubrieron que si se divide el radio de una circunferencia por el lado del decágono regular inscrito en ella se obtiene el número áureo. Si se divide una circunferencia en diez partes iguales y se une cada punto con los que están a tres lugares de distancia a cada lado, se obtiene un polígono en forma de estrella (un decágono estrellado), cuyo lado es igual al radio de la circunferencia multiplicado por el número áureo.

Como se ve, el número áureo aparece con frecuencia en geometría. Pasemos ahora a un campo diferente, a primera vista.

Leonardo de Pisa (Fibonacci)

Apenas iniciado el siglo XIII, el matemático italiano Leonardo Fibonacci, llamado también Leonardo de Pisa o Pisano, escribió el influyente tratado Liber abaci (El libro del ábaco), que introdujo en la civilización occidental la numeración árabe, que en realidad procedía de la India y que revolucionó la aritmética, pues las operaciones son mucho más fáciles de realizar que con la numeración romana. En ese libro, Leonardo propuso también el siguiente problema:

Un hombre puso una pareja de conejos en un lugar cerrado. ¿Cuántas parejas de conejos tendrá al cabo de un año, si se supone que cada mes una pareja engendra una nueva pareja, que a partir del segundo mes se vuelve fértil?

Parece un problema sencillo, pero le ha dado a Leonardo de Pisa más fama que introducir la numeración árabe en Occidente. Es fácil ver que el número de parejas de conejos que habrá en el recinto cada mes, suponiendo que no se muere ningún conejo y que una vez se vuelven fértiles continúan siéndolo indefinidamente, sigue la siguiente sucesión matemática:

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144...

Esta sucesión es la serie de Fibonacci, así llamada en honor de su autor, y tiene la propiedad de que cada término es igual a la suma de los dos anteriores, aunque de esto no se dieron cuenta hasta 1634, cuando el matemático francés Albert Girard lo señaló. Más tarde se vio que la serie aparece con frecuencia en la naturaleza: en las espirales que forman las cabezuelas del girasol; en las piñas de los pinos; en las curvas de las conchas de los caracoles; en la disposición de las yemas de las hojas alrededor de un tallo; en las capas sucesivas de los cuernos de los mamíferos; y en muchos sitios más. Cada vuelta de estas curvas espirales contiene varias componentes, cuyo número en vueltas sucesivas forma la serie de Fibonacci.

¿Y esto qué tiene que ver con el número áureo? Veamos. La siguiente fórmula permite calcular un término cualquiera (el que ocupa el lugar n) en la serie de Fibonacci, sin tener que calcular los términos anteriores de la serie:

En esta fórmula A es el número áureo y 1 - A (como vimos antes) el opuesto de su inverso. Esta expresión es muy curiosa: contiene tres veces la raíz cuadrada de 5, que es un número irracional (una en cada una de las dos A y la tercera en el denominador), y sin embargo el resultado final de la expresión es siempre entero, cuando n es entero positivo.

La serie de Fibonacci se relaciona de otro modo con el número de oro. Si cada término de la serie se divide por el anterior, se obtiene una nueva serie cuyos primeros términos son: 1  2  1,5  1,666666666  1,6  1,625  1,615384615  1,619047619  1,617647059  1,618181818   1,617977528... Se observará que los términos de esta serie oscilan alrededor del número de oro y se aproximan a él cada vez más. Por lo tanto, el número áureo es el límite de la sucesión formada por los cocientes de los términos de la serie de Fibonacci.

Un último detalle que no agota las propiedades del número áureo y de la serie de Fibonacci: la ecuación de segundo grado x²-x-1=0 tiene como soluciones al número áureo A y al opuesto de su inverso (1-A). El lector curioso puede comprobarlo.

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Manuel Alfonseca

Este artículo es un regalo de cumpleaños

 para José Antonio Macías