Probabilidad cero

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En un artículo anterior mencioné que un suceso puede ocurrir una o varias veces, aunque la probabilidad de que ocurra sea cero. La probabilidad de un suceso se define como el cociente del número de casos favorables por el de casos posibles. Por consiguiente, si el número de casos posibles es infinito, siendo finito el de casos favorables, la probabilidad resulta ser cero.

A primera vista parece increíble que un suceso que tiene probabilidad cero pueda llegar a suceder. Creo que la cosa quedará más clara con un ejemplo sencillo. Supongamos que dos amigos, A y B, están hablando, y lo que dicen es esto:

A: Si te pido que elijas un número entre 1 y 100, ¿cuál es la probabilidad de que elijas uno concreto, por ejemplo, 25?

B: 1/100, evidentemente.

A: Si te pido que elijas un número entre 1 y 1000, ¿cuál es la probabilidad de que elijas 25?

B: 1/1000.

A: Si te pido que elijas un número entre 1 y 10000, ¿cuál es la probabilidad de que elijas 25?

B: 1/10000.

A: Si te pido que elijas un número entero positivo cualquiera, ¿cuál es la probabilidad de que elijas 25?

B: Cero, porque el conjunto de los números enteros tiene infinitos elementos, y uno dividido por infinito es igual a cero.

A: Elije un número cualquiera entre todos los enteros positivos y dime cuál has elegido.

B: Elijo 2²⁵⁰⁰-1.

A: Acabas de realizar un suceso cuya probabilidad es cero.

Pensando un poco se verá que la probabilidad de elegir, de entre todos los números enteros, un conjunto finito cualquiera, por grande que sea, también es cero. Así por ejemplo:

A: Si te pido que elijas diez números distintos entre uno y cien, ¿cuál es la probabilidad de que elijas precisamente los números comprendidos entre 11 y 20? (El orden no importa)

B: 1/17.310.309.456.440

A: Y si te pido que elijas diez números distintos entre todos los enteros positivos, ¿cuál es la probabilidad de que elijas precisamente los números comprendidos entre 11 y 20?

B: Cero.

Dejo para el lector curioso la justificación de por qué la probabilidad de elegir los números comprendidos entre 11 y 20 entre los números uno y cien es precisamente la que ha dicho B.

Para terminar este artículo, voy a proponer algunos ejercicios más para el lector. Quien los resuelva, tiene la oportunidad de escribir un comentario explicando cómo ha obtenido la solución.

1.      ¿Cuál es la última cifra de 6²⁵⁰⁰?

2.      ¿Cuál es la penúltima cifra de 6²⁵⁰⁰?

3.      ¿Cuál es la penúltima cifra de 6^1.000.000?

4.      ¿Cuál es la probabilidad de que la última cifra de 6ⁿ sea impar?

5.      ¿Cuál es la probabilidad de que la penúltima cifra de 6ⁿ sea impar?

Vincent Pantaloni, CC BY-SA 4.0, Wikimedia Commons

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Manuel Alfonseca

Felices vacaciones. Hasta septiembre

Teología matemática

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Ernst Zermelo

Ernst Zermelo (1871-1953) fue un matemático famoso de principios del siglo XX. Entre sus logros, podemos mencionar los siguientes:

• En 1899 descubrió la paradoja de Russell, dos años antes que Russell. Aunque no la publicó, sí la comentó con sus colegas de la Universidad de Göttingen, entre los que estaba David Hilbert. La paradoja de Russell demuestra que la teoría de conjuntos de Cantor es inconsistente, pues permite construir el conjunto de todos los conjuntos que no pertenecen a sí mismos. Veamos: hay conjuntos que no pertenecen a sí mismos, como el de los números pares; ese conjunto no es un número par. Otros sí pertenecen a sí mismos, como el conjunto de los conjuntos infinitos, que es un conjunto infinito. Ahora nos preguntamos: ¿Pertenece a sí mismo el conjunto de todos los conjuntos que no pertenecen a sí mismos? Esta pregunta nos lleva a una paradoja: si pertenece, no pertenece; y si no pertenece, sí pertenece.
• En 1904 demostró el teorema del buen orden, como primer paso hacia la demostración de la hipótesis del continuo, el primero de los 23 problemas sin resolver de Hilbert. El teorema del buen orden afirma que todo conjunto puede ser bien ordenado, lo que quiere decir que todo subconjunto ordenado no vacío debe tener un elemento mínimo. Para demostrarlo, propuso el axioma de elección, del que hablaremos a continuación.
• En 1905 comenzó a trabajar en la axiomatización de la teoría de conjuntos. Su sistema, mejorado en 1922 por Adolf Fraenkel, es un conjunto de 8 axiomas, que hoy se llama sistema de Zermelo-Fraenkel (ZF). Añadiendo a este sistema el axioma de elección, obtenemos el sistema ZFC, el más utilizado hoy día en la teoría de conjuntos.