jueves, 24 de noviembre de 2016

El problema de Aquiles y la tortuga

Zenón de Elea
Zenón de Elea, discípulo de Parménides, es recordado sobre todo por sus paradojas que tratan de demostrar que el movimiento no existe, y especialmente por la paradoja de Aquiles y la tortuga, que afirma que sería imposible que Aquiles alcanzara a la tortuga en una carrera, siempre que le haya dado cierta ventaja de partida.
Sabemos que Aquiles corre más deprisa que la tortuga (si no, no podría alcanzarla y la paradoja no tendría sentido). Si le da ventaja, en el momento en que Aquiles empiece a correr, la tortuga estará ya a cierta distancia, en el punto A. Cuando Aquiles llegue al punto A, la tortuga habrá avanzado hasta el punto B. Cuando Aquiles llegue a B, la tortuga estará ya en C. Y así sucesivamente, hasta el infinito.
Aquiles tardará en alcanzar a la tortuga la suma de los tiempos que necesite para alcanzar los puntos A, B, C… El tiempo total será, por lo tanto, la suma de una serie infinita de números. El problema es que Zenón piensa que la suma de una serie infinita de números tiene que ser infinita, por lo que Aquiles jamás conseguirá alcanzar a la tortuga (esta es la conclusión de su razonamiento). Esto, sin embargo, no es cierto: existen numerosas series infinitas cuya suma es finita. Una de ellas es, precisamente, la que calcula el tiempo que Aquiles tardaría en alcanzar a la tortuga, según el razonamiento de Zenón.

Supongamos, por ejemplo, que Aquiles corre al doble de velocidad que la tortuga, y usemos como unidad de tiempo el que Aquiles necesita para alcanzar el punto A. Entonces la serie de tiempos del razonamiento de Zenón vale 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16… cuya suma es 2. O sea, Aquiles alcanza a la tortuga en el doble de tiempo del que necesita para alcanzar el punto donde estaba la tortuga cuando él empezó a correr.

Demostración
La solución de esta ecuación de primer grado es x=2

Este razonamiento se puede generalizar. Si suponemos que Aquiles corre r veces más deprisa que la tortuga, donde r es cualquier número real mayor que 1 (porque sabemos que Aquiles debe correr más que la tortuga), el tiempo que tarda en conseguirlo, obtenido sumando la serie de Zenón, resulta ser igual a r/(r-1). O sea, si Aquiles corriera tres veces más deprisa que la tortuga, la alcanzaría en un tiempo 1,5 veces mayor que el que le cuesta llegar al punto A. Si sólo corriera un 10% más deprisa que la tortuga, le costaría 11 veces ese tiempo.

El problema de Aquiles y la tortuga choca demasiado con el sentido común para que nadie lo tomara en serio, pero durante más de dos milenios permaneció en el subconsciente de los filósofos y los matemáticos como un problema sin resolver, hasta que el desarrollo de la teoría de series numéricas en el siglo XIX permitió considerarlo cerrado. Con ello quedó palpablemente demostrado que la teoría de Zenón respecto a la inexistencia y la imposibilidad del movimiento se apoyaba en una hipótesis demostradamente falsa, por lo que dicha teoría cayó definitivamente por tierra.
Esto no ocurre siempre con las teorías filosóficas: a menudo es muy difícil echarlas abajo definitivamente, porque las premisas falsas en que se basan están muy bien ocultas y es muy difícil refutarlas. Pero el ejemplo de la teoría de Zenón debería avisarnos de que todas las teorías filosóficas no son iguales: algunas son demostradamente falsas; otras probablemente son falsas, aunque aún no se ha podido demostrar; y otras quizá sean ciertas, o al menos más ciertas que otras.
Pensemos en la filosofía materialista, que afirma que sólo existe la materia. ¿Por qué sigue teniendo tanto auge, si se ha demostrado que conduce a numerosas contradicciones, algunas de las cuales enumeré en otro artículo de este blog?
Probablemente porque hay muchas personas, filósofos o no, que desean ardientemente que esta teoría sea cierta, puesto que al negar la libertad humana y reducirla al determinismo o al azar, elimina el concepto del bien y del mal, y por tanto el pecado y la responsabilidad de los propios actos. Por eso algunos psicólogos y psiquiatras modernos dicen a sus posibles clientes:

¿Tiene usted remordimientos? Venga a mi consulta y se los quitaré.

Manuel Alfonseca

2 comentarios:

  1. El artículo es interesante, porque demuestra la falibilidad de algunas teorías. Hombre, no es por ser malo, pero creo, que hasta yo podría ganar a la tortuga. La tortuga mientras Aquiles ha llegado al punto B habrá avanzado muy poco. ¿Qué le cuesta a Aquiles que ha recorrido el tramo A tan facilmente superarla?. Respecto a lo de la psiquiatría, el problema es que la psiquiatría de diván se ha convertido en un sustituto del sacramento de la confesión. Uno se pregunta, si muchosde los problemas no se eliminarían prestando más atención a la persona, y tomándola más en serio. Es verdad que algunos problemas psiquíatricos no se solucionan con eso, y hay que recurrir a la medicación, pero no creo, que mi punto de vista este equivocado. En un mundo en el que cada vez es más difícil establecer amistades, y gente que pueda escuchar. Por ello prefiero la confesión, y recuperar los vínculos comunitarios.

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  2. Hace algún tiempo leí una entrevista a la actriz Antonia San Juan. Cuando le preguntaron si se sentía culpable por algo, la señora contestó con todo el cuajo: "la culpa no existe, es cosa de la religión".

    Sin comentarios.

    Magnífico, Manuel, como siempre. Gracias por ilustrarnos. Un abrazo.

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