La cifra número 528 de Pi

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Gotfried Wilhelm von Leibniz

Hace dos artículos mencioné que la mejor aproximación fraccionaria sencilla del valor de p es 355/113 = 3,14159292..., que fue descubierta en Occidente durante el siglo XVI. A partir de ahí se obtuvieron otras aproximaciones mejores, pero ya no en forma de fracción, sino de serie. Se conocen varias series infinitas de términos cuya suma es p. Por lo tanto, basta con sumar un número suficientemente grande de términos para obtener tantas cifras de p como queramos, siempre que tengamos tiempo de hacer las sumas. El primero en proponer una de esas series fue el matemático francés François Vieta. Como su serie era muy complicada, damos aquí la que propuso en 1673 el matemático y filósofo alemán Gotfried Wilhelm von Leibniz, que es mucho más conocida:

Cuantos más términos sumemos de esta serie, más nos aproximaremos al valor de p. La tabla siguiente muestra los avances realizados a lo largo del tiempo en el cálculo de sus aproximaciones sucesivas, utilizando series, fórmulas o procedimientos muy variados.

El misterio de la Gran Pirámide

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La Gran Pirámide de Guiza, llamada también Pirámide de Keops o Pirámide de Jufu, fue construida para ser la tumba del faraón Jufu (llamado por los griegos Keops), de la cuarta dinastía, punto culminante del Imperio Antiguo Egipcio. El reinado de Jufu se suele fechar en el siglo XXVI antes de Cristo, hace más de 4500 años.

La altura actual de la Gran Pirámide es de 138,8 metros, pero la pirámide está truncada, porque ha perdido el vértice superior. Es fácil calcular que su altura original era unos 8 metros mayor: 146,7 metros, o 280 codos egipcios. La base de la pirámide es un cuadrado de 230,34 metros de lado, o 440 codos egipcios.

Observemos un detalle curioso: el semi-perímetro de la pirámide (el doble del lado de la base) es igual a 880 codos. Si lo dividimos por la altura de la pirámide, obtenemos lo siguiente:

(880/220) = (22/7) = 3,142857...

¿Existen las cifras de Pi?

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Martin Gardner

En un artículo publicado en la revista Discover en 1985, Martin Gardner escribió esto:

Da la casualidad de que la cifra decimal número mil de pi es 9... La cuestión es: ¿Era verdadera [esta afirmación] antes de que fuera descubierta en 1949? Para los partidarios de la escuela realista, el enunciado expresa una verdad intemporal, la conozca alguien o no... [Otros] prefieren pensar que los objetos matemáticos carecen de toda realidad independiente de la mente humana.

Este problema es muy antiguo, pues llevamos más de dos mil años discutiendo sobre él. La pregunta sobre si los objetos matemáticos existen realmente o son pura creación de nuestra mente es un caso particular del problema, mucho más general, que plantea si las ideas y los conceptos (como la especie perro) existen en la realidad, o sólo existen este perro y aquel perro. Es el problema de los universales, famoso en la Edad Media, que aún no se ha resuelto a satisfacción de todos. De hecho, en la actualidad este debate es más virulento que nunca.

Qué es una teoría científica

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Karl Popper

Aunque esté de moda decir que las teorías de Karl Popper sobre la evolución de la ciencia están pasadas de moda, su definición de lo que es una teoría científica es inapelable:

Una teoría es científica si y sólo si es posible diseñar un experimento que demuestre que esa teoría es falsa.

Un caso paradigmático es la Interpretación de Copenhague de la Mecánica Cuántica. En 1935, Einstein, Podolsky y Rosen diseñaron un experimento que podría echar abajo dicha teoría. Unos meses más tarde, Niels Bohr publicó otro artículo en la misma revista, en el que respondía al artículo anterior. Casi 30 años después, como expliqué en otro artículo de este blog, el experimento EPR, que hasta entonces había sido mental, pudo llevarse a cabo y confirmó las predicciones de Bohr, en lugar de las de Einstein. Como esta teoría fue capaz de resistir un intento de demostrar su falsedad, debe ser considerada como una teoría científica.

Eso sí, este éxito de la teoría no implica que automáticamente deba considerase correcta o verdadera. Las teorías científicas (siempre según Popper) nunca llegan a serlo. Esta ha resistido con éxito un intento de echarla abajo, pero el próximo podría conseguirlo.

El modelo cosmológico estándar

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Mapa de la Radiación Cósmica de Fondo

En 1927, el sacerdote y astrónomo belga Georges Lemaître descubrió la ley de Hubble.

Sí, es correcto. Hubble no descubrió la ley hasta 1929. Lo que pasó fue que Lemaître lo publicó en francés en una revista de poco impacto (Annales de la Société Scientifique de Bruxelles), mientras Hubble, que lo publicó dos años más tarde en inglés en los Proceedings of the National Academy of Sciences, recibió mucha más publicidad y su nombre quedó asociado al descubrimiento.

Combinada con la ecuación cosmológica de Einstein, la ley de Lemaître-Hubble implica que el universo está en expansión. En un artículo publicado en 1931 en Nature, Lemaître sacó las consecuencias de esto proponiendo la teoría del Big Bang, así llamada en burla por su opositor Fred Hoyle en 1950. El nombre cuajó.

En 1948, Ralph Alpher, George Gamow y Robert Herman hicieron dos predicciones sorprendentes, partiendo de la teoría del Big Bang: la composición media de la masa del cosmos (tres cuartas partes de hidrógeno y una de helio), y la existencia de la radiación cósmica de fondo. Ambas fueron comprobadas durante los años sesenta. A partir de ahí, la teoría del Big Bang se convirtió en la teoría cosmológica estándar.

La evolución en el siglo XXI

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Hace poco más de treinta años, durante los años ochenta, algunos de los conceptos fundamentales de la evolución parecían estar muy claros. Citemos algunos:

• El ADN de cada ser vivo es un mensaje cifrado que describe perfectamente cómo construir el fenotipo correspondiente (el individuo adulto). Toda la información está en los genes. (Reduccionismo mecanicista).
• La mayor parte del ADN es innecesaria (ADN basura) y se ha ido acumulando a base de errores y repeticiones en la transcripción del genoma de los seres vivos.
• La mejor metáfora para representar la organización de un genoma es un conjunto de cuentas ensartadas en un cordel.
• Los genes son los depositarios de la herencia, y cada gen especifica una función biológica.
• Los procesos evolutivos tienen lugar a través de mutaciones aleatorias que actúan sobre un solo gen, que se ven sometidas a la selección natural, lo que da lugar a pequeños aumentos graduales en la adaptación al medio.

El fin del gen egoísta

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El alemán August Weismann (1834-1914) fue uno de los biólogos más influyentes de finales del siglo XIX. Su aportación más importante fue la teoría del plasma germinal, también llamada en su honor Weismannismo, según la cual en todos los organismos vivos pluricelulares existen dos clases de células (véase la figura 1):

Figura 1

• Células somáticas, representadas en la figura por una S, que componen la mayor parte del cuerpo y no desempeñan papel alguno en la herencia.
• Células germinales, representadas en la figura por una G: los gametos, óvulos y espermatozoides, que pasan la información genética a la generación siguiente.

Epigénesis y epigenética

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Fecundación del óvulo por el espermatozoide

En el artículo anterior vimos que a principios del siglo XIX la teoría de la epigénesis parecía haber ganado la partida. Sin embargo, a partir de 1850, y durante algo más de un siglo, una cascada de nuevos descubrimientos inclinó de nuevo la balanza hacia la teoría de la preformación. Veamos cuales fueron:

1. La existencia de un núcleo dentro de las células animales y vegetales.
2. La constatación de que, en la fecundación, los núcleos de los gametos masculino y femenino se funden. Esto acabó con el espermismo y el ovismo y dejó claro que el nuevo ser empieza en el zigoto.
3. La constatación de que, durante la reproducción celular, en el interior del núcleo de la célula aparecen unas estructuras (los cromosomas) que parecen desempeñar un papel muy importante. Se averiguó, además, que en la dotación cromosómica del zigoto, la mitad de los cromosomas tienen origen paterno y la otra mitad origen materno.
4. Una nueva ciencia (la Genética), originada en los experimentos de Thomas Hunt Morgan, que demostró que los cromosomas están ligados con la herencia mendeliana.
5. Los trabajos de Oswald Avery, que demostraron que el ADN, un ácido nucleico que forma parte de los cromosomas, es la base de la herencia mendeliana.
6. El descubrimiento de la estructura en doble hélice del ADN, realizado a principios de los 50 por Francis Crick, James Watson y Rosalind Franklin.
7. El desciframiento del código genético, que tuvo lugar durante los años 50 y 60 del siglo XX.

Preformación y epigénesis

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La historia de la evolución de las teorías científicas sobre el origen de los seres vivos (la vida embrionaria) es muy curiosa. Voy a intentar resumirla en un par de artículos.

A lo largo de la historia de la ciencia, el problema del desarrollo embrionario de los organismos pluricelulares ha sido uno de los misterios más arcanos que el hombre ha intentado resolver. Ante este problema, se le han ocurrido esencialmente dos soluciones contrapuestas:

• Preformación: Lo que se produce durante el desarrollo embrionario es un crecimiento del embrión, cuya constitución y composición están completamente predispuestas desde su origen. Todo está hecho desde el principio, ya sea en el óvulo, el espermatozoide o el zigoto.
• Epigénesis: El desarrollo embrionario es un proceso. No todo está decidido desde el principio, todo ocurre porque algo –una fuerza vital, o una acción externa o interna– obliga al embrión a desarrollarse de una manera y no de otra.

Sobre el orden social

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En un comentario a un artículo anterior en este blog, JI Gs escribió esto:

Todas las sociedades tienen un orden social explicito, sean fundamentalmente creyentes o no en lo inmaterial; incluso las sociedades animales y no digamos los insectos tienen un orden social estricto y no por ello tiene que actuar lo inmaterial para generarlo o mantenerlo.

Ante este párrafo tengo dos consideraciones que hacer:

Abeja solitaria (Megachile) y social (Apis)

• Comparar las sociedades humanas con las de los insectos es un paso en falso. El orden social humano está basado en un conjunto de normas morales que a lo largo del tiempo se ha mantenido bastante constante, excepto en lo relativo a la moral sexual (véase el apéndice de La abolición del hombre de C.S.Lewis). El de los insectos está programado en sus genes y en su sistema nervioso. Mientras en la especie humana es posible, y hasta frecuente, que uno o más miembros de la sociedad se rebelen contra una o más normas, o incluso intenten echar abajo todo el orden social, a los miembros de las sociedades de insectos les resulta imposible rebelarse. Dicho de otro modo, el hombre es consciente y libre, el insecto no. Cualquier comparación entre ellos está fuera de lugar, porque se basan en estructuras totalmente diferentes.