jueves, 17 de mayo de 2018

¿Existen las cifras de Pi?


Martin Gardner
En un artículo publicado en la revista Discover en 1985, Martin Gardner escribió esto:
Da la casualidad de que la cifra decimal número mil de pi es 9... La cuestión es: ¿Era verdadera [esta afirmación] antes de que fuera descubierta en 1949? Para los partidarios de la escuela realista, el enunciado expresa una verdad intemporal, la conozca alguien o no... [Otros] prefieren pensar que los objetos matemáticos carecen de toda realidad independiente de la mente humana.
Este problema es muy antiguo, pues llevamos más de dos mil años discutiendo sobre él. La pregunta sobre si los objetos matemáticos existen realmente o son pura creación de nuestra mente es un caso particular del problema, mucho más general, que plantea si las ideas y los conceptos (como la especie perro) existen en la realidad, o sólo existen este perro y aquel perro. Es el problema de los universales, famoso en la Edad Media, que aún no se ha resuelto a satisfacción de todos. De hecho, en la actualidad este debate es más virulento que nunca.

Al problema de los universales se le pueden dar dos soluciones diferentes:
  • Los realistas dicen que los universales existen de verdad fuera de nuestra mente. A su vez, esta solución se divide en dos:
    • Realismo platónico, porque Platón propuso la teoría de las ideas, según la cual los conceptos existen de verdad en un mundo aparte del nuestro (el mundo de las ideas), que de hecho es más real que el nuestro, como explicó en La República con la imagen de la caverna. Según esta teoría, el valor de p es algo real que reside en el mundo de las ideas.
    • Realismo moderado, solución propuesta por Aristóteles, que sostiene que todo ser está compuesto de una materia que le es propia, y de una forma que comparte con otros seres de la misma especie. Según esta teoría, los conceptos (las formas) existen de verdad, pero son inseparables de la materia. Así, el valor de p formaría parte de la forma de todos los objetos o trayectorias circulares, y por tanto existiría fuera de nosotros.
  • Los nominalistas o anti-realistas dicen que los conceptos no tienen existencia real, pues son creación nuestra. A su vez, esta solución se divide en dos:
    • Conceptualismo, defendido por Pierre Abelard (Abelardo, el de Eloísa) y por William of Ockham (o Guillermo de Occam), entre otros, según el cual los universales son conceptos que sí existen, aunque sólo en nuestra mente, y difieren de las palabras (los nombres sustantivos), que son los nombres de los conceptos. Según esta teoría, el valor de p existe en nuestra mente, pero sólo en ella, porque fuera de ella sólo hay objetos, no círculos, ya que la idea del círculo es una abstracción que no existe en la realidad.
    • Nominalismo estricto, defendido por Roscelino de Compiégne, que sostiene que los universales son meros nombres, simples palabras (de ahí el nombre de esta corriente filosófica). Según esta teoría, p no es más que un término cuyas propiedades sólo dependen de lo que nosotros queramos hacer de él.
Disco enviado en las cápsulas Voyager
Obsérvese una consecuencia curiosa de todo esto: si cualquiera de las dos teorías nominalistas tuviera razón, cuando enviamos hacia las estrellas placas grabadas con símbolos matemáticos (que representen, por ejemplo, las cifras de p), por la remota posibilidad de que las encuentre, en un futuro muy lejano, alguna civilización extraterrestre, estamos haciendo una tontería, pues las matemáticas, al ser creación de la mente humana, no tienen por qué ser comprendidas por otras inteligencias diferentes de la nuestra. En cambio sí tiene sentido hacerlo si cualquiera de las teorías realistas tuviese razón, porque en tal caso las matemáticas existen fuera de nuestra mente, son parte de la realidad, y cualquier inteligencia extraterrestre no tendría más remedio que compartirlas con nosotros.
El valor de p se define así:
p es el cociente del perímetro de un círculo (que se suele llamar su circunferencia) y su diámetro.
El matemático inglés William Oughtred representó este cociente por el símbolo p/d, por las iniciales de sus dos términos: perimetron (perimetron, que significa medida alrededor) y diametron  (diametron, que significa medida a través). En el siglo XVIII, el matemático suizo Leonhard Euler fue uno de los primeros en usar el símbolo p para representar el cociente, refiriéndolo a un círculo cuyo diámetro fuese igual a 1.
El valor de p es siempre el mismo, cualquiera que sea el círculo de que se trate, pero es imposible conocer su valor de modo totalmente exacto: sólo podemos obtener aproximaciones. Hoy día conocemos 10 billones de cifras de p, es decir, tenemos una aproximación buenísima. Hace unos 4000 años, los egipcios tenían una mucho menos exacta. Esta:
16×16×(1/9)×(1/9) = (16/9)2 = 3,16049...
Arquímedes
por Domenico Fetti
Los griegos fueron los primeros a quienes se les ocurrió la peregrina idea de que es posible deducir las propiedades de las figuras geométricas simplemente pensando, sin necesidad de medir nada con reglas y cuerdas. Aplicando un procedimiento de este tipo, Arquímedes obtuvo dos aproximaciones muy buenas de p: las fracciones 22/7 = 3,142857... (por exceso) y 223/71 = 3,140845... (por defecto). Hallando la media de las dos obtuvo una aun mejor: 3123/994 = 3,141851... Algunos siglos después, Claudio Ptolomeo propuso una todavía mejor: 377/120 = 3,141666... Y a finales del siglo V, el chino Zu Chongzhi propuso la fracción 355/113 = 3,14159292..., que también fue descubierta en Occidente en el siglo XVI. El valor de p con 20 decimales exactos es 3,14159265358979323846…
¿Son esas realmente las cifras de p, como dicen los realistas, o todo esto no es más que una pura elucubración mental nuestra, como dicen los anti-realistas? Seguiremos hablando de esto en artículos sucesivos.

Manuel Alfonseca

8 comentarios:

  1. Felicito al autor por esta brillante disertación a cerca de la historia del número Pi. Nunca pensé que hubiera una polémica tan encarnizada por esta cuestión. Creo, que simpatizó más con los realistas, que con el bando opuesto. Espero el siguiente artículo con impaciencia.

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  2. Me sumo a la felicitacion por este nuevo articulo, sin embargo me entra una duda.
    ¿No son las matematicas realistas? es decir las matematicas se usan para todo y tienen sus proyecciones en las construcciones humanas y animales, ya que no son valores relativos a cada especie o individuo, si no que estan ahi. Quizas yo lo entendi mal, pero 2+2 es 4 en cualquier lugar, cambiara la nomenclatura pero el valor no es cambiable.
    Otro ejemplo serian las edificaciones. Si las matematicas fueran producto de nuestra mente ¿No serian los edificios construcciones realizadas por numeros arbitrarios por cada arquitecto? y sin embargo no es asi.
    Perdon si dije alguna tonteria o no me exprese con claridad.

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    1. Su pregunta tiene las dos contestaciones que he descrito en este artículo y es uno de los temas de discusión más virulentos de la actualidad. La discusión entre el realismo y el nominalismo está muy lejos de acercarse a una solución satisfactoria para todo el mundo. Los tres artículos siguientes tratarán sobre este tema desde diversos puntos de vista, y seguramente se podrían decir muchas más cosas.

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  3. Algunos dicen que Aristóteles estaba equivocado al negar que existiera el infinito "en acto". Dicen que el infinito existe de verdad, no solo como "infinito en potencia" como creyeron los matemáticos durante siglos. No solo eso, sino que creen es esencial para las matemáticas (sin él, no tendríamos números reales, sin los números reales no habría límites, sin límites no habría derivadas, sin estas no habría ecuaciones diferenciales y sin ellas la física desaparece, opinan). Sin embargo el problema es que las demostraciones de la existencia de Dios sólo se pueden entender desde una filosofía sana, es decir, aquella en la que la realidad prima sobre la idea. No se puede pasar legítima de una posibilidad matemática o lógica a una existencia real. Esa es la crítica que hace Santo Tomás al argumento anselmiano por el que la existencia de Dios es evidente y no ha de demostrarse. Santo Tomás parte de datos de experiencia concretos y aplica principios racionales extraídos de la realidad.
    Pero vamos, que la cosa es bastante simple: ¿puede alguien indicar una cosa real en el universo que sea infinita en acto? Las proposiciones de Santo Tomas de Aquino sin embargo son realistas. Parte de evidencias empíricas y deduce la existencia de la Causa de todo lo que vemos (lo empirico) a partir de tales datos empíricos. El infinito en la realidad es imposible, porque el infinito en la realidad implica "esperar" sin nunca acabar el inicio de la cadena de la causas que determinan que algo justamente sea.

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    1. Frank dice: "¿puede alguien indicar una cosa real en el universo que sea infinita en acto?"

      La cuestión de si el universo es infinito o no, no está resuelta, pero si lo fuera, el universo sería una cosa real que sería infinita en acto.

      Es cierto que Santo Tomás (en Summa Teologica I, pregunta 7, art. 3) dice: "Es manifiesto que un cuerpo natural no puede ser infinito." Pero él no está considerando el universo entero como un cuerpo material. La cosmología moderna sí lo hace.

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    2. Me parece, con todo respeto, que el Prof. Alfonseca debe considerar que no es lo mismo 'infinito' que 'duración indefinida'. El mismo Einstein se preguntaba que cómo era posible que él, que no fue el inventor del universo, pudiera hacer ecuaciones que lo explicaran. La conclusión a la que llegó fue que tanto la mente humana como el universo tienen el mismo origen. En relación con esto la teología enseña que al crear el universo Dios lo participó de su Ser, pero como fue posible esto es un absoluto misterio.

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    3. Cuando dije que el universo podría ser infinito me refería al espacio, no a la duración.

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