En un artículo anterior mencioné que un suceso puede ocurrir una o varias veces, aunque la probabilidad de que ocurra sea cero. La probabilidad de un suceso se define como el cociente del número de casos favorables por el de casos posibles. Por consiguiente, si el número de casos posibles es infinito, siendo finito el de casos favorables, la probabilidad resulta ser cero.
A primera vista parece
increíble que un suceso que tiene probabilidad cero pueda llegar a suceder.
Creo que la cosa quedará más clara con un ejemplo sencillo. Supongamos que dos
amigos, A y B, están hablando, y lo que dicen es esto:
A: Si te pido que elijas un
número entre 1 y 100, ¿cuál es la probabilidad de que elijas uno concreto, por
ejemplo, 25?
B: 1/100, evidentemente.
A: Si te pido que elijas un
número entre 1 y 1000, ¿cuál es la probabilidad de que elijas 25?
B: 1/1000.
A: Si te pido que elijas un
número entre 1 y 10000, ¿cuál es la probabilidad de que elijas 25?
B: 1/10000.
A: Si te pido que elijas un
número entero positivo cualquiera, ¿cuál es la probabilidad de que elijas 25?
B: Cero, porque el conjunto de
los números enteros tiene infinitos elementos, y uno dividido por infinito es
igual a cero.
A: Elije un número cualquiera
entre todos los enteros positivos y dime cuál has elegido.
B: Elijo 22500-1.
A: Acabas de realizar un suceso
cuya probabilidad es cero.
Pensando un poco
se verá que la probabilidad de elegir, de entre todos los números enteros, un
conjunto finito cualquiera, por grande que sea, también es cero. Así por ejemplo:
A: Si te pido que elijas diez
números distintos entre uno y cien, ¿cuál es la probabilidad de que elijas precisamente
los números comprendidos entre 11 y 20? (El orden no importa)
B: 1/17.310.309.456.440
A: Y si te pido que elijas diez
números distintos entre todos los enteros positivos, ¿cuál es la probabilidad
de que elijas precisamente los números comprendidos entre 11 y 20?
B: Cero.
Dejo para el
lector curioso la justificación de por qué la probabilidad de elegir los
números comprendidos entre 11 y 20 entre los números uno y cien es precisamente
la que ha dicho B.
Para terminar este
artículo, voy a proponer algunos ejercicios más para el lector. Quien los
resuelva, tiene la oportunidad de escribir un comentario explicando cómo ha
obtenido la solución.
1. ¿Cuál es la última cifra de 62500?
2. ¿Cuál es la penúltima cifra de 62500?
3. ¿Cuál es la penúltima cifra de 61.000.000?
4. ¿Cuál es la probabilidad de que la última cifra
de 6n sea impar?
5. ¿Cuál es la probabilidad de que la penúltima
cifra de 6n sea impar?
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| Vincent Pantaloni, CC BY-SA 4.0, Wikimedia Commons |
Como 6*6 es 36, cualquier potencia de 6 terminará en 6.
ResponderEliminarSobre el penúltimo dígito, haciendo algunas cuentas se puede ver que sigue la secuencia 3, 1, 9, 7, 5, 3, ... (dígitos impares en orden inverso, empezando por 3). Es decir, penúltima-cifra(6^2)=3, penúltima-cifra(6^3)=1, penúltima-cifra(6^4)=9, penúltima-cifra(6^5)=7, penúltima-cifra(6^6)=6, y se comienza a repetir.
A partir de esto, las respuestas a los ejercicios propuestos serían:
1) 6
2) 2500 mod 5 = 0, luego será igual que penúltima-cifra(6^5)=7
3) Misma logica anterior, será 7
4) La última cifra nunca será impar, probabilidad = 0
5) La penúltima cifra siempre será impar, probabilidad = 1
¿Es correcto? Gracias por el rato de entretenimiento!
Todas correctas. Falta por resolver el problema que está planteado en el cuerpo del artículo:por qué la probabilidad de escoger aleatoriamente los números de 11 a 20 entre los números de 1 a 100 es 1/17.310.309.456.440
EliminarNúmero combinatorios. Coger los números del 11 al 20 es una de las formas posibles de coger 10 números entre 100, que es combinatorio de 10 entre 100, que se calcula como 100! dividido entre 90!10, cuyo resultado es 17.310.309.456.440
EliminarMuy bien.
EliminarHola. He leído algún artículo del blog que me ha gustado, y estoy suscrito a él(especialmente me interesa la temática ciencia-fe), pero como matemático en este caso me veo obligado a escribir para hacer una precisión.
ResponderEliminarLa definición axiomática de la probabilidad exige una terna dada por un espacio, una sigma-álgebra (los sucesos medibles) y una medida sigma-aditiva que otorgue a todo el espacio medida 1. Pues bien, en los números naturales, si les quisiera dar una distribución de probabilidad, la sigma-aditividad implica que la probabilidad de un número no podría ser nunca cero, porque en ese caso P(N) sería igual al sumatorio de P(n) para todo natural, y esa suma sería idénticamente cero, y no uno. Un ejemplo de distribución de probabilidad en los naturales válida es P(n) = 2^-n (en general, se puede poner cualquier sucesión positiva cuya suma sea 1).
Algo muy distinto ocurre en los números reales, donde las distribuciones típicas de probabilidad sí dan probabilidad cero a cada número real concreto.
Un corolario es que en los naturales no se puede definir una distribución uniforme, como sí puede hacerse en los reales. Aprovecho para comentar una curiosa paradoja que tiene que ver con este hecho. Supongamos el siguiente juego: te ofrezco dos sobres, y te digo que en uno de ellos hay N euros y en el otro 1000N euros, y te pido que elijas uno. A continuación te pregunto si quieres cambiar. Y la respuesta es que sale ventajoso el cambio, porque la esperanza de dicha operación, si llamamos x a lo que tenga el sobre previmente elegido, es E(cambiar) = 0,5 * x/1000 + 0,5 * x * 1000, que es del orden de 500 veces x. El error está en suponer uniforme la distribución de probabilidades de las cantidades contenidas en los sobres.
Matemáticamente hablando tiene usted razón. Sin embargo, cuando estas ideas se aplican a la física, sí se habla de sucesos de probabilidad cero aunque se trate de números naturales.
EliminarUsted preguntará: ¿y dónde aparecen infinitos en la física? Pues hay un sitio donde sí aparecen, al menos como posibilidad: en el tamaño del universo. Así, en un artículo de 1979, el cosmólogo George Ellis decía que la probabilidad de existencia de inteligencias en el universo puede ser literalmente cero, siempre que el universo sea infinito y el número de inteligencias sea finito. Puede verse aquí: Ellis, George F.R. and Geoff. B. Brundrit, Life in the Infinite Universe, Quarterly Journal of the Royal
Astronomical Society 20: 37-41. A este artículo, Paco Soler y yo respondimos con este otro: About the Infinite Repetition of Histories in Space, THEORIA, 81(2014): 361-373. DOI: 10.1387/theoria.9951.
Aunque no lo dije en este artículo del blog, era a esto a lo que me refería cuando escribí esto: "parece increíble que un suceso que tiene probabilidad cero pueda llegar a suceder."
Hola! Por favor fripper, podrías elaborar en esta paradoja? Ya la he visto enunciada un par de veces, me gustaría entender el razonamiento que hay detrás, pero no soy capaz de entender tu explicación. Por ejemplo, cuál es la esperanza de no-cambiar?
ResponderEliminarHola, Manuel! Me gustaría participar, pero los números no son lo mío, jaja :-) Acabo de leer un artículo e inmediatamente me he acordado de ti. Aquí te lo dejo por si tienes a bien comentarlo. Como ves, la introducción no tiene desperdicio :-D
ResponderEliminarhttps://elpais.com/elpais/ciencia.html
Paso a ponerme al día con tus artículos, muchos besos y felices vacaciones!
https://elpais.com/elpais/2019/07/10/ciencia/1562777983_668205.html
ResponderEliminarAhora sí ¡Besos!
Gracias Ana. ¿Y quién ha dicho que los creyentes creemos que hacen falta "fuerzas sobrenaturales" para explicar el origen de la vida? Yo no lo creo. Teilhard de Chardin tampoco (véase "La energía humana"). Hay quien se pasa la vida tratando de demostrar que son falsas cosas que no decimos.
EliminarAsi estan siempre los cientifistas tratando de echar en cara que somos una basura y si no lo aceptamos nos miran mal y es que somos tontos sentimentales segun ellos
ResponderEliminarAqui otro ejemplo de cientifismo extremo :https://www.google.com/amp/s/elpais.com/elpais/2019/07/08/ciencia/1562590067_810342.amp.html
ResponderEliminarGracias, Bruno.
EliminarSe me ocurre que, al pedirle a alguien que escoja un número entre todos los enteros positivos, la probabilidad de que escoja un número concreto no es uniforme. Es decir, los números 1 al 100 tienen una probabilidad alta (y distinta de cero) de ser escogidos, del 101 al 1000 algo menor, y dicha probabilidad irá tendiendo a cero según el entero sea mayor. Creo que eso explica la paradoja.
ResponderEliminarComo ha señalado fripper más arriba, eso es cierto para los enteros, pero no para los reales. De todos modos, mi intención al escribir este artículo era más bien física que matemática, como dije en mi respuesta a fripper.
EliminarVerdaderamente las matemáticas son metafísica y al mismo tiempo la cúspide de la racionalidad con evidente efectos físicos. No hay contradicción alguna entre ambos planos.
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