La cifra número 528 de Pi

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Gotfried Wilhelm von Leibniz

Hace dos artículos mencioné que la mejor aproximación fraccionaria sencilla del valor de p es 355/113 = 3,14159292..., que fue descubierta en Occidente durante el siglo XVI. A partir de ahí se obtuvieron otras aproximaciones mejores, pero ya no en forma de fracción, sino de serie. Se conocen varias series infinitas de términos cuya suma es p. Por lo tanto, basta con sumar un número suficientemente grande de términos para obtener tantas cifras de p como queramos, siempre que tengamos tiempo de hacer las sumas. El primero en proponer una de esas series fue el matemático francés François Vieta. Como su serie era muy complicada, damos aquí la que propuso en 1673 el matemático y filósofo alemán Gotfried Wilhelm von Leibniz, que es mucho más conocida:

Cuantos más términos sumemos de esta serie, más nos aproximaremos al valor de p. La tabla siguiente muestra los avances realizados a lo largo del tiempo en el cálculo de sus aproximaciones sucesivas, utilizando series, fórmulas o procedimientos muy variados.

Año	Autor	Número de cifras de p
1593	Vieta	17
1615	Ludolf von Ceulen	35
1717	Abraham Sharp	72
1844	Zacharias Dase	200
1873	William Shanks	707 (527)

Fijémonos en el cálculo de William Shanks. Después de varios años calculando, obtuvo 707 cifras de p y batió el récord de cifras obtenidas hasta entonces. Durante tres cuartos de siglo, nadie pudo mejorarlo. En 1949 se utilizó por primera vez un ordenador electrónico para calcular las cifras de p. Entonces se descubrió que Shanks había cometido un error en la cifra número 528, que según él era un 5, pero que el ordenador –que no podía cometer errores– descubrió que en realidad era un 4. A partir de ahí, todas las restantes cifras calculadas por Shanks, hasta la 707, eran erróneas. Afortunadamente Shanks nunca lo supo, porque había muerto en 1882, nueve años después de completar su cálculo.

Ahora nos planteamos la siguiente cuestión:

Entre 1873 y 1949, ¿cuánto valió la cifra número 528 de p? ¿Valía 4 o 5?

Parece una pregunta estúpida, pero veamos:

• Si los realistas tienen razón y las matemáticas existen fuera de la mente humana, el valor de la cifra 528 de p fue siempre igual a 4. Shanks simplemente cometió un error al calcularla.
• Si los anti-realistas tienen razón, y el valor de p no tiene sentido fuera de la mente humana, entonces la cifra número 528 de p no tenía valor antes de 1873, valía 5 entre 1873 y 1949, y pasó a valer 4 en 1949. Shanks no cometió un error, simplemente asignó a p un valor ligeramente diferente del que le damos ahora.

Sugiero al lector que decida cuál de las dos posibilidades le parece más razonable.

Y a todo esto, ¿para qué queremos conocer tantas cifras del valor de p? ¿Es que las necesitamos para calcular el diámetro de un círculo, conociendo su circunferencia? Veamos un ejemplo práctico.

Supongamos que la Tierra fuese una esfera perfecta, con una circunferencia igual a la del meridiano que pasa por París: 40.000 km (esa fue la primera definición del metro). Si dividimos 40.000.000 entre el valor de p, obtendremos el diámetro de la Tierra, que viene a ser igual a 12.732.395 metros. Si utilizamos la primera aproximación de Arquímedes (22/7), obtenemos 12.727.272 metros, o sea, un error de poco más de 5 kilómetros.

Si utilizamos la mejor aproximación fraccionaria sencilla (355/113) el error sería del orden de un metro, y eso que esta fracción sólo proporciona seis cifras decimales exactas de p. Si utilizásemos el valor de p con 10 cifras decimales exactas (3,1415926536) el error sería de unas 40 micras. Y si nos vamos a 20 cifras exactas (3,14159265358979323846) obtendríamos el diámetro de la Tierra con un error del orden de algunos femtómetros, que viene a ser el tamaño de las partículas elementales, mucho más pequeño que un átomo. ¿Alguien cree que es preciso conocer el diámetro de la Tierra con tanta aproximación? Entonces, ¿para qué perder el tiempo calculando más cifras de p?

Uno de los motivos por los que se han seguido calculando cifras de p ha sido para aplicar a esas cifras las pruebas de aleatoriedad estadística. En efecto, las cifras de p parecen ser aleatorias, pues cualquier secuencia de cifras que se nos ocurra probar aparece entre las cifras de p un número de veces inversamente proporcional a su longitud. Veamos algunos ejemplos:

• Si las cifras de p cumplen las condiciones de aleatoriedad, cada número de una cifra debería aparecer aproximadamente un 10% de las veces en cualquier secuencia de cifras de p arbitrariamente grande. Así, entre los primeros 1000 millones de cifras de p, cada cifra debería aparecer unos 100 millones de veces. Pues bien: 0 aparece 99.993.942 veces; 1, 99.997.334; 2, 100.002.410; 3, 99.986.911; 4, 100.011.958; 5, 99.998.885; 6, 100.010.387; 7, 99.996.061; 8, 100.001.839; y 9, 100.000.273. Como se ve, todos estos números son muy próximos a los 100 millones previstos.
• Lo mismo ocurre con las 100 secuencias posibles de dos cifras (de 00 a 99), cada una de las cuales aparece aproximadamente 10 millones de veces. También se cumplen las condiciones de aleatoriedad con las secuencias de tres cifras (de 000 a 999), cada una de las cuales aparece aproximadamente un millón de veces. Y así sucesivamente.

Andréi Kolmogórov

Si las cifras de p cumplen las condiciones de aleatoriedad, parecería razonable pensar que el valor de p debería ser aleatorio. Nada más lejos de la realidad. Existe otra medida –la complejidad de Kolmogórov– que analiza la aleatoriedad de un número comprobando hasta qué punto puede comprimirse. Pues bien, el valor de p puede comprimirse enormemente, pues cualquier algoritmo de los que se utilizan para calcular billones de cifras de p es mucho más corto que el valor de p y lo representa exactamente (o lo representaría si lo dejáramos ejecutarse un tiempo infinito). Así que en p tenemos la contradicción aparente de un número cuyas cifras parecen aleatorias, pero que en realidad no lo son, pues su valor está perfectamente determinado.

Los informáticos también están interesados en calcular muchas cifras de p para comparar la eficiencia de distintos tipos de ordenadores. En efecto, es posible compararlos midiendo el número de cifras exactas de p que pueden calcular en un tiempo dado, utilizando el mismo algoritmo. También se pueden comparar distintos algoritmos, ejecutándolos sobre el mismo ordenador. Finalmente, el cálculo de p se ha utilizado como problema de prueba, para comprobar que los ordenadores nuevos funcionan adecuadamente, sin cometer errores.

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Manuel Alfonseca