 |
| Kurt Gödel |
Kurt Gödel (1906-1978) fue uno de los matemáticos más importantes del
siglo XX. En 1931, cuando tenía 25 años, saltó a la fama al demostrar
matemáticamente que el intento de construir un sistema axiomático completo a
partir del cual pueda deducirse toda la aritmética de los números naturales, o
cualquier sistema equivalente, está condenado al fracaso.
Su primer teorema de
incompletitud dice esto:
Todo sistema
formal consistente y con potencia semejante a la de la aritmética elemental, no
es completo (contiene proposiciones verdaderas indecidibles).
Veamos una demostración informal simplificada:
Sea el Teorema
G, que dice lo siguiente: Este teorema G no se puede demostrar partiendo de los axiomas y las
reglas del sistema S.
- Si suponemos que el teorema G es
falso, el sistema S es
inconsistente, pues a partir de los axiomas y reglas de S se
podría demostrar un teorema falso.
- Luego si S es consistente, G tiene que ser verdadero,
y por tanto no se puede demostrar a partir de los axiomas de S.
El teorema de Gödel demuestra que toda
formalización axiomática de la aritmética, o bien es inconsistente
(permite demostrar teoremas falsos), o
bien es incompleta (contiene teoremas verdaderos que no se pueden
demostrar).
 |
| David Hilbert |
El matemático alemán David Hilbert publicó la lista de los 23 problemas
pendientes de resolución más importantes de las matemáticas. En el segundo
lugar de la lista planteó este: Probar que los axiomas de la aritmética son consistentes.
El segundo teorema de
incompletitud de Gödel dice esto:
Dada una
teoría T, generada a partir de unos axiomas aritméticos básicos y unas reglas de deducción formales, si T
contiene la prueba de su propia consistencia, entonces T es inconsistente.
O sea, el segundo teorema de Gödel demuestra que el segundo problema de
Hilbert no tiene solución.
¿Qué opinaba Kurt Gödel sobre el dilema entre realismo y anti-realismo?
Para comprobar que Gödel era realista platónico, basta fijarse en este párrafo
que escribió en un suplemento a su artículo What is Cantor’s Continuum Problem?,
escrito originariamente en 1964:
A pesar de
lo lejos que está de la experiencia sensorial, tenemos algo así como una
percepción de los objetos de la teoría de conjuntos, como se ve en el hecho de
que los axiomas se imponen sobre nosotros como algo cierto. No veo ninguna
razón por la que deberíamos tener menos confianza en este tipo de percepción,
en la intuición matemática, que en la percepción a través de los sentidos, que
nos empuja a construir teorías físicas, esperando que las futuras percepciones
de nuestros sentidos estarán de acuerdo con ellas.
Contra esta afirmación, los anti-realistas sostienen que, si no podemos confiar en la percepción a
través de los sentidos, porque estamos sujetos (por ejemplo) a
ilusiones ópticas, tampoco podemos
confiar en la intuición matemática. Sin embargo, como señala Gödel, las
ilusiones ópticas y de otros sentidos no son suficientemente importantes como
para hacernos dudar de la coherencia de las teorías científicas que se basan en
dichas percepciones y tratan de explicarlas. Por el contrario, también las
ilusiones ópticas han sido detectadas, y se han construido teorías científicas
para explicarlas. Por otra parte, al revés que las ilusiones ópticas, de las
que existen muchos ejemplos, no es tan corriente encontrar casos en los que la
intuición matemática nos lleve a error. Por lo tanto, según Gödel, esta crítica
de la postura realista no tiene fuerza.
Otras críticas de más peso las expresó Rudolf Carnap en The Logical Syntax of Language (1934). Entre ellas, podemos entresacar las
siguientes:
·
Que la
intuición matemática no existe, pues se reduce a convenios sobre el uso de los
símbolos.
·
Que las
proposiciones matemáticas son compatibles con todas las experiencias posibles y
están vacías de contenido, por lo que los hechos u objetos matemáticos no existen.
·
Que es
posible hacer compatibles las matemáticas con el empirismo estricto, afirmando
que las verdades de las matemáticas se basan sólo en convenios sintácticos,
mientras la ciencia empírica se apoya en la experiencia sensorial.
A estas críticas, Gödel responde que las convenciones sintácticas en que según Carnap se apoyan las
matemáticas deben ser consistentes, porque si no lo son se podrá
deducir de ellas cualquier afirmación empírica. Pero la prueba de consistencia
debería ser, o bien matemática, o bien empírica, y en ambos casos sus teoremas de incompletitud y otros
resultados matemáticos echan por tierra la postura anti-realista de Carnap.
 |
| San Anselmo de Canterbury |
Es curioso que Kurt Gödel fuese autor de una
demostración matemática de la existencia de Dios. Se trata de una
formulación en términos matemáticos del argumento
ontológico de San Anselmo de Canterbury. La demostración es impecable, pero
se apoya en cinco axiomas que considera evidentes, y los ateos no tienen más
que negar uno de esos axiomas para rechazar la demostración de Gödel. Y aunque
no consigan echarlos abajo, siempre pueden aducir que eso no demuestra que sean
verdaderos.
Hilo Matemáticas: Anterior Siguiente
Hilo Matemáticas: Anterior Siguiente
Manuel Alfonseca
Ante todo como siempre felicito al autor por su excelente artículo (como siempre). Es muy interesante está reflexión sobre Kurt Godel. Por cierto, creo haber visto las obras completas de Kurt Godel en una tienda de Valladolid https://www.amazon.es/Obras-completas-Alianza-Ensayo-Gödel/dp/842064773X
ResponderEliminarEs muy interesante remarcar la religiosidad del matemático, y que tratase de resucitar las ideas de San Anselmo de Canterbury. Sé, que nunca se hablará del tema, pero la gran pregunta es ¿Por qué las matemáticas se explican mal? y ¿Cómo podrá mejorarse los resultados de los alumnos en esta asignatura?
Espero con impaciencia el siguiente artículo.
Felicitaciones al profesor Alfonseca por sus articulos, (los cuales no pude comentar por problemas personales).
ResponderEliminarParece que la realidad se inclina a la vision realista, (la cual comparto).
En cuanto al Sr.Fonch si me permite contestarle, no creo que las matemáticas se expliquen mal, pero la forma en que las enseñan suponen al alumno un esfuerzo sin ningún aliciente. Personalemente las cosas que aprendi, las aprendi divirtiendome, y creo que es una forma de atraer a los alumnos y hacerles aprender de forma mas amena. En eso ayudara las nuevas tecnologías, y creo que los videojuegos serian una plataforma de enseñanza con potencial, al menos durante los primeros años de enseñanza, donde así los alumnos tomaran cariño por las asignaturas. No solo las matematicas, si no todas.
Centrándome en la demostración informal simplificada del primer teorema de incompletitud de Gödel, entiendo que el teorema G puede representar a Dios y el sistema S representa a las matemáticas, aunque esta demostración me sugiere denominar a G como hijo y S como padre. Hasta donde he conseguido aclararme entiendo que las matemáticas son la verdad pero no es capaz o no puede demostrar que tiene razón ¡Vaya! No sé si vale mi visión cotidiana para referirse a tal cuestión matemática seria pero es como mejor puedo expresar como he entendido su sobresaliente artículo.
ResponderEliminarLeí un artículo suyo donde se mostraba esceptico sobre los posibles descubrimientos de "vida" en Marte, no sé si su postura ha cambiado con las últimas novedades. http://www.latercera.com/tendencias/noticia/hubo-vida-marte-nasa-halla-nueva-evidencia-planeta-tuvo-seres-vivos/196744/
ResponderEliminarNo es que yo sea escéptico respecto a la existencia de vida en Marte, simplemente no tengo datos al respecto. En cuanto a la noticia que se acaba de publicar, relea mi artículo sobre la falacia de la vida en Marte.
EliminarObserve este párrafo del artículo cuyo enlace me envía: Robot Curiosity descubrió compuestos orgánicos que en ocasiones se originan por la presencia de vida. Fíjese en las palabras en ocasiones. Dicen claramente que la existencia de vida no es condición suficiente ni necesaria para que aparezcan esos compuestos. O sea, que sabemos algo más, pero no podemos demostrar que en algún momento existiera vida en Marte.
Pero eso no quiere decir que yo niegue que pudo haber alguna vez vida en Marte. Simplemente digo que aún no lo sabemos.
Don Manuel,me gustaria que usted dedicara un artículo sobre el origen de la vida. Yo e visto algunos argumentos, y me e percatado que la mayoria de los cíentificos creen que la vida no se origino por azar, sin embargo los últimos descubrimientos de la NASA dan indicios de que la vida se pudo originar en marte.
ResponderEliminarDavid.
Aquí hay un par de artículos de mi blog que tienen que ver con el origen de la vida:
EliminarEl origen de la vida en otros mundos
Qué es la vida