Teología matemática

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Ernst Zermelo

Ernst Zermelo (1871-1953) fue un matemático famoso de principios del siglo XX. Entre sus logros, podemos mencionar los siguientes:

• En 1899 descubrió la paradoja de Russell, dos años antes que Russell. Aunque no la publicó, sí la comentó con sus colegas de la Universidad de Göttingen, entre los que estaba David Hilbert. La paradoja de Russell demuestra que la teoría de conjuntos de Cantor es inconsistente, pues permite construir el conjunto de todos los conjuntos que no pertenecen a sí mismos. Veamos: hay conjuntos que no pertenecen a sí mismos, como el de los números pares; ese conjunto no es un número par. Otros sí pertenecen a sí mismos, como el conjunto de los conjuntos infinitos, que es un conjunto infinito. Ahora nos preguntamos: ¿Pertenece a sí mismo el conjunto de todos los conjuntos que no pertenecen a sí mismos? Esta pregunta nos lleva a una paradoja: si pertenece, no pertenece; y si no pertenece, sí pertenece.
• En 1904 demostró el teorema del buen orden, como primer paso hacia la demostración de la hipótesis del continuo, el primero de los 23 problemas sin resolver de Hilbert. El teorema del buen orden afirma que todo conjunto puede ser bien ordenado, lo que quiere decir que todo subconjunto ordenado no vacío debe tener un elemento mínimo. Para demostrarlo, propuso el axioma de elección, del que hablaremos a continuación.
• En 1905 comenzó a trabajar en la axiomatización de la teoría de conjuntos. Su sistema, mejorado en 1922 por Adolf Fraenkel, es un conjunto de 8 axiomas, que hoy se llama sistema de Zermelo-Fraenkel (ZF). Añadiendo a este sistema el axioma de elección, obtenemos el sistema ZFC, el más utilizado hoy día en la teoría de conjuntos.

¿Qué dice el axioma de elección? Dice esto:

El producto cartesiano de una colección de conjuntos no vacíos, es no vacío.

Con otras palabras: si tenemos cierto número de conjuntos, todos los cuales tienen al menos un elemento, es posible formar otro conjunto tomando un elemento de cada uno de los conjuntos anteriores.

Parece una afirmación de Perogrullo, y si el número de esos conjuntos es finito, es evidente que es cierta. Pero ¿qué pasa si el número de los conjuntos es infinito? Entonces, la cosa no está tan clara. Durante cierto tiempo, muchos matemáticos se negaron a aceptar el axioma de elección, aunque hoy casi todos lo aceptan.

Bertrand Russell

Bertrand Russell propuso una ilustración del axioma de elección que explica por qué se llama así. Supongamos que tenemos un conjunto infinito de cajas cada una de las cuales contiene un par de zapatos. Podemos construir un conjunto nuevo con un zapato de cada par, si en cada conjunto elegimos (por ejemplo) el zapato del pie izquierdo. En cambio, si tenemos un conjunto infinito de cajas con pares de calcetines, donde no sabemos cuál es el calcetín del pie izquierdo y cuál el del derecho, no se ve a primera vista cómo podríamos realizar esa selección. El axioma de elección de Zermello afirma que siempre podremos encontrar un criterio de selección (aunque no nos dice cuál es) que permita formar un conjunto en el que haya un calcetín de cada par.

Del axioma de elección se deduce el Lema de Zorn, que afirma que todo conjunto parcialmente ordenado, en el que todo subconjunto totalmente ordenado no vacío tiene cota superior, contiene al menos un elemento maximal.

Explicación: en un conjunto parcialmente ordenado se puede definir un criterio de ordenación (≤) que decide cómo deben ordenarse los elementos, aunque ese criterio no tiene por qué aplicarse a todos los pares posibles de elementos del conjunto. Si se aplica a todos los pares de elementos, el conjunto está totalmente ordenado. Una cota superior de un conjunto es un elemento que es mayor o igual que todos los demás del conjunto, según el criterio de ordenación. El elemento maximal es aquel que no es menor que ningún otro.

La revista matemática Manifold de la Universidad de Warwick, en su número 6 de 1970, pp. 50-51, contiene un artículo de Vox Fisher titulado Ontology Revisited, que demuestra la existencia de Dios utilizando el axioma de elección. La demostración dice esto:

Teorema: El axioma de elección es equivalente a la existencia de un Dios único.

Demostración: Consideremos el conjunto de todas las propiedades de cualquier ser. Los subconjuntos de ese conjunto pueden ordenarse mediante la inclusión. El orden es parcial, pues dado un par de subconjuntos, no siempre uno está incluido en el otro. De acuerdo con el lema de Zorn, el conjunto en cuestión debe contener al menos un elemento maximal. Llamémosle Dios. Por otra parte, la Existencia es una de las propiedades de algunos seres. Es obvio que se verifica lo siguiente:

Dios Í Dios È {Existencia}

Pero si Dios es un elemento maximal, no puede ser inferior a ningún otro, luego:

Dios = Dios È {Existencia}

Luego Dios tiene la propiedad de la existencia. Luego Dios existe.

El resto del artículo demuestra la unicidad del elemento maximal, o sea, que Dios es único.

Se observará que esta demostración matemática de la existencia de Dios equivale a la prueba ontológica de San Anselmo (de ahí el título del artículo). Es curioso que, aunque la demostración de San Anselmo no tenga actualmente mucha aceptación en entornos filosóficos, sí la tiene entre algunos matemáticos. La demostración matemática de la existencia de Dios por Kurt Gödel también se basa en la prueba ontológica, aunque siga un procedimiento distinto.

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Manuel Alfonseca