Probabilidad cero

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En un artículo anterior mencioné que un suceso puede ocurrir una o varias veces, aunque la probabilidad de que ocurra sea cero. La probabilidad de un suceso se define como el cociente del número de casos favorables por el de casos posibles. Por consiguiente, si el número de casos posibles es infinito, siendo finito el de casos favorables, la probabilidad resulta ser cero.

A primera vista parece increíble que un suceso que tiene probabilidad cero pueda llegar a suceder. Creo que la cosa quedará más clara con un ejemplo sencillo. Supongamos que dos amigos, A y B, están hablando, y lo que dicen es esto:

A: Si te pido que elijas un número entre 1 y 100, ¿cuál es la probabilidad de que elijas uno concreto, por ejemplo, 25?

B: 1/100, evidentemente.

A: Si te pido que elijas un número entre 1 y 1000, ¿cuál es la probabilidad de que elijas 25?

B: 1/1000.

A: Si te pido que elijas un número entre 1 y 10000, ¿cuál es la probabilidad de que elijas 25?

B: 1/10000.

A: Si te pido que elijas un número entero positivo cualquiera, ¿cuál es la probabilidad de que elijas 25?

B: Cero, porque el conjunto de los números enteros tiene infinitos elementos, y uno dividido por infinito es igual a cero.

A: Elije un número cualquiera entre todos los enteros positivos y dime cuál has elegido.

B: Elijo 2²⁵⁰⁰-1.

A: Acabas de realizar un suceso cuya probabilidad es cero.

Pensando un poco se verá que la probabilidad de elegir, de entre todos los números enteros, un conjunto finito cualquiera, por grande que sea, también es cero. Así por ejemplo:

A: Si te pido que elijas diez números distintos entre uno y cien, ¿cuál es la probabilidad de que elijas precisamente los números comprendidos entre 11 y 20? (El orden no importa)

B: 1/17.310.309.456.440

A: Y si te pido que elijas diez números distintos entre todos los enteros positivos, ¿cuál es la probabilidad de que elijas precisamente los números comprendidos entre 11 y 20?

B: Cero.

Dejo para el lector curioso la justificación de por qué la probabilidad de elegir los números comprendidos entre 11 y 20 entre los números uno y cien es precisamente la que ha dicho B.

Para terminar este artículo, voy a proponer algunos ejercicios más para el lector. Quien los resuelva, tiene la oportunidad de escribir un comentario explicando cómo ha obtenido la solución.

1.      ¿Cuál es la última cifra de 6²⁵⁰⁰?

2.      ¿Cuál es la penúltima cifra de 6²⁵⁰⁰?

3.      ¿Cuál es la penúltima cifra de 6^1.000.000?

4.      ¿Cuál es la probabilidad de que la última cifra de 6ⁿ sea impar?

5.      ¿Cuál es la probabilidad de que la penúltima cifra de 6ⁿ sea impar?

Vincent Pantaloni, CC BY-SA 4.0, Wikimedia Commons

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Manuel Alfonseca

Felices vacaciones. Hasta septiembre

Teología matemática

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Ernst Zermelo

Ernst Zermelo (1871-1953) fue un matemático famoso de principios del siglo XX. Entre sus logros, podemos mencionar los siguientes:

• En 1899 descubrió la paradoja de Russell, dos años antes que Russell. Aunque no la publicó, sí la comentó con sus colegas de la Universidad de Göttingen, entre los que estaba David Hilbert. La paradoja de Russell demuestra que la teoría de conjuntos de Cantor es inconsistente, pues permite construir el conjunto de todos los conjuntos que no pertenecen a sí mismos. Veamos: hay conjuntos que no pertenecen a sí mismos, como el de los números pares; ese conjunto no es un número par. Otros sí pertenecen a sí mismos, como el conjunto de los conjuntos infinitos, que es un conjunto infinito. Ahora nos preguntamos: ¿Pertenece a sí mismo el conjunto de todos los conjuntos que no pertenecen a sí mismos? Esta pregunta nos lleva a una paradoja: si pertenece, no pertenece; y si no pertenece, sí pertenece.
• En 1904 demostró el teorema del buen orden, como primer paso hacia la demostración de la hipótesis del continuo, el primero de los 23 problemas sin resolver de Hilbert. El teorema del buen orden afirma que todo conjunto puede ser bien ordenado, lo que quiere decir que todo subconjunto ordenado no vacío debe tener un elemento mínimo. Para demostrarlo, propuso el axioma de elección, del que hablaremos a continuación.
• En 1905 comenzó a trabajar en la axiomatización de la teoría de conjuntos. Su sistema, mejorado en 1922 por Adolf Fraenkel, es un conjunto de 8 axiomas, que hoy se llama sistema de Zermelo-Fraenkel (ZF). Añadiendo a este sistema el axioma de elección, obtenemos el sistema ZFC, el más utilizado hoy día en la teoría de conjuntos.

¿Viajes hacia el pasado?

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S.Agustín, por Louis Comfort Tiffany
Lightner Museum

En sus Confesiones (Libro XI, capítulo 14), San Agustín escribió estas palabras, que hoy mantienen toda su vigencia:

¿Qué es, pues, el tiempo? Si nadie me lo pregunta, lo sé; pero si quiero explicárselo al que me lo pregunta, no lo sé.

En la situación actual de nuestros conocimientos científicos y filosóficos, seguimos sin saber lo que es el tiempo.

·         Para la filosofía clásica y para la ciencia de Newton, el tiempo es una propiedad del universo. Existiría, por lo tanto, un tiempo absoluto.

·         Para Kant, el tiempo es una forma a priori de la sensibilidad humana (o sea, una especie de recipiente mental al que se adaptan nuestras experiencias sensoriales).

·         Para Einstein el tiempo es relativo al estado de reposo o movimiento de cada objeto físico. No existe, por tanto, un tiempo absoluto.

·         Para la teoría cosmológica estándar, para cada objeto físico sí es posible definir un tiempo cósmico absoluto, que mide la distancia temporal desde el Big Bang hasta la actualidad.

·         Para la teoría A del tiempo (utilizando la nomenclatura de J.McTaggart) el flujo del tiempo es parte de la realidad. El pasado ya no existe. El futuro aún no existe. Sólo existe el presente. Si la teoría A es correcta, los viajes hacia el pasado son imposibles, porque no se puede viajar a lo que no existe.

·         Para la teoría B del tiempo, el fluir del tiempo es una ilusión. Pasado, presente y futuro existen simultáneamente, sólo que para cada uno de nosotros el pasado ya no es accesible directamente, y el futuro todavía no lo es. Einstein adoptó la filosofía B del tiempo. En una carta de pésame escribió esto, para consolar a su interlocutor por la pérdida de un ser querido: 

La distinción entre pasado, presente y futuro es sólo una ilusión, aunque persistente.

El símbolo de la muerte

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Azrael, el ángel de la muerte.
Evelyn De Morgan (1855-1919)

Para un griego clásico educado, el número 8 representaba la muerte. ¿Por qué? Veamos en qué se basaba esta asignación fúnebre.

1. Multipliquemos por 8 los 8 primeros números naturales.
2. Sumemos las cifras de cada uno de esos resultados.
3. Si el total obtenido tiene más de una cifra, volvemos a sumar esas cifras.

Multiplicación	Suma de cifras	2ª suma de cifras
1´8=8	8	8
2´8=16	1+6=7	7
3´8=24	2+4=6	6
4´8=32	3+2=5	5
5´8=40	4+0=4	4
6´8=48	4+8=12	1+2=3
7´8=56	5+6=11	1+1=2
8´8=64	6+4=10	1+0=1

Obsérvese que obtenemos la sucesión 8,7,6,5,4,3,2,1. Para los griegos, esta sucesión empieza en 8 y desciende hasta morir en 1. Por eso el número 8 representaba la muerte.

Censura algorítmica y diversidad en la investigación científica

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Manuel Cebrián

Manuel Cebrián, que empezó trabajando en USA en el MIT, y después de un largo periplo que le llevó a la costa oeste de los Estados Unidos y a Australia volvió al MIT y ahora está en Berlín, se hizo famoso gracias a haber ganado dos importantes competiciones organizadas por el gobierno de los Estados Unidos, relacionadas con el uso de las redes sociales para resolver problemas más o menos complejos:

• DARPA Network Challenge (2009), que ofrecía 40.000 dólares de recompensa al primer equipo que consiguiera descubrir, en menos de 8 horas, dónde se habían colocado quince globos rojos, distribuidos por distintas localidades de los Estados Unidos por personal del Pentágono, utilizando para ello una red social de creación propia, organizada durante el mes anterior al día de la competición. A pesar de que recibieron numerosas noticias de avistamientos falsos (fake news) el equipo de Cebrián consiguió ganar la competición, en la que participaron más de 9000 equipos.
• DoS Tag Challenge (2012), que ofreció 5000 dólares de recompensa al equipo que consiguiera localizar a cinco actores, identificados por su fotografía, que representaban a cinco criminales sospechosos que permanecerían visibles durante 12 horas en cinco ciudades europeas y estadounidenses: Nueva York, Washington, Londres, Bratislava y Estocolmo. Aunque sólo consiguieron localizar a tres de los cinco sospechosos, el equipo de Cebrián ganó de nuevo la competición, a pesar de la competencia poco ética de alguno de los otros equipos participantes, que llegó a copiar su web para engañar a posibles informantes, haciéndoles enviar la información a la web de un grupo diferente.

Durante su estancia en Australia, Cebrián trabajó en la previsión de los efectos negativos de las catástrofes naturales, analizando los datos proporcionados por las redes sociales (esencialmente Facebook y Twitter) y cómo estos podían capturar eventos del mundo real a gran velocidad. Lo malo es que, cada vez en mayor grado en estos últimos años, los algoritmos que estiman el interés de la difusión de las noticias y mensajes de las redes sociales van cobrando más peso en la forma en que la información se transmite por las redes. Estos algoritmos son los que deciden que dichos mensajes y noticias sean más o menos vistos, y que los usuarios permanezcan más o menos tiempo en la plataforma

A la luz de esto, Cebrián y sus colegas trasladaron su investigación sobre las redes sociales hacia la forma en que la Inteligencia Artificial (IA) afecta a la comunicación y cooperación humanas. El análisis teórico de modelos computacionales inspirados por los cambios realizados en las grandes plataformas permitió conjeturar que el funcionamiento de las redes sociales puede ser afectado por algoritmos capaces de potenciar o debilitar la información. Como consecuencia de su uso, los mensajes y noticias originados por ciertos usuarios podrían llegar a un número menor de seguidores, lo que podría considerarse una forma de censura algorítmica.

Preocupado por las tendencias crecientes hacia el control de la Internet por grandes empresas, Cebrián y su equipo han realizado un análisis muy completo de las publicaciones en el campo de la Inteligencia Artificial, y de las citas cruzadas entre dicho campo y otros campos de las ciencias y de las humanidades, desde 1950 hasta 2017. Se observa que, aunque el número de publicaciones sobre IA aumenta progresivamente, el impacto mutuo con otras ciencias parece ir disminuyendo. Sólo cuatro campos (Informática, Matemáticas, Geografía e Ingeniería) mantienen una tendencia superior a una distribución de citas cruzadas aleatoria, y sólo en uno (Informática) está aumentando, aunque a un nivel bastante inferior al de los años setenta y ochenta.

Otro de los resultados obtenidos por el análisis descrito en el artículo mencionado es que la investigación en IA está cada vez más dominada por unas pocas instituciones de investigación, y las publicaciones más citadas se realizan en un número cada vez menor de revistas y conferencias. Esta disminución de diversidad, que alcanza un 30% desde 1980, afecta a los autores, la producción de artículos y las citas, y sugiere que quizá se estén formando núcleos de investigación de citas cruzadas, con preferencias bien definidas. Por otra parte, la preponderancia de grandes empresas en estos núcleos (Google, Microsoft, Facebook) podría dar lugar a que el objetivo de la investigación pase, de buscar soluciones a problemas tecnológicos importantes para la humanidad, a una nueva situación en la que interesa más acopiar datos de los clientes para venderlos a los anunciantes y controlar así los impulsos de consumo de la sociedad.

Veamos una de las conclusiones más importante y preocupante del artículo:

La brecha entre las ciencias sociales y la investigación en IA significa que los investigadores y los responsables de la formulación de políticas quizá ignoren las implicaciones sociales, éticas y societales de los nuevos sistemas de IA.

Martín López Corredoira

Esta disminución de diversidad, combinada con la censura de lo que no se adapte al modelo ortodoxo, afecta también a otros campos de la ciencia. Si nos referimos, por ejemplo, a la física del cosmos (cosmología), la publicación con más índice de impacto en este campo ha pasado a ser arXiv, hasta el punto de que actualmente es dificilísimo publicar ahí a menos que se pertenezca a una institución importante, y totalmente imposible si el artículo difiere de algún modo del modelo ΛCDM, el estándar actual de la cosmología, como se denuncia en este libro:

Nadie debería tener el monopolio de la verdad en este universo. La censura y la supresión de las ideas que desafían la corriente principal de la investigación, por ejemplo, haciendo listas negras de científicos, no es la mejor manera de hacer y filtrar la ciencia, ni de promover el progreso en el conocimiento humano. La eliminación de ideas buenas y novedosas del escenario científico es muy perjudicial para la búsqueda de la verdad. Existen casos en los que una mera creencia sin fundamento puede llegar a convertirse en la teoría científica aceptada por todos, gracias a la acción selectiva de la revisión de artículos y de reuniones planeadas por comités científicos de organización, o mediante la distribución de fondos controlados por “clubs de opinión.” Esto conduce a paradigmas unitarios y al pensamiento único, que no están asociados necesariamente con la verdad única.

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Manuel Alfonseca

Este artículo se basa en la conferencia pronunciada 

por Manuel Cebrián en la UAM el 10 de mayo de 2019.

Agradezco a Cebrián su ayuda para corregir el artículo.

¿Viviremos 500 años?

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James H. Schmitz

Hace unos años, especialmente en 2015 y 2016, empezaron a surgir noticias en los medios de comunicación de masas que anunciaban la inminencia de que nuestra esperanza de vida suba de forma desmesurada, por lo que pronto alcanzaremos la inmortalidad. Por entonces escribí en este blog tres artículos (este, este y este) en los que me declaré escéptico respecto a esas previsiones. En otro artículo, publicado también en 2016, distinguí entre dos conceptos muy diferentes:

• Esperanza de vida: la duración media de la vida humana. Aunque depende de la edad de la persona, usualmente se da el dato que corresponde al momento del nacimiento. La esperanza de vida ha ido creciendo progresivamente en los últimos siglos, debido sobre todo a los avances de la medicina, aunque los datos actuales de la ONU parecen indicar que ese aumento está disminuyendo.
• Longevidad: la duración máxima de la vida humana. Su valor parece aproximarse a los 120 años, y no se nota ningún aumento significativo en las últimas décadas. De hecho, sólo hay dos personas de las que se pensó que habían rebasado esa longevidad, el japonés Shigeziyo Izumi y la francesa Jeanne Calment, pero ambos casos están actualmente en duda. Al primero se le quitó el título de hombre más longevo del mundo cuando se descubrió que su fecha de nacimiento podría corresponder en realidad a un hermano suyo del mismo nombre mayor que él, que murió bastante joven. En el caso de la francesa, existe un controvertido estudio ruso que propone que su hija habría intercambiado su identidad por la de su madre cuando murió esta, supuestamente en 1934.

La NASA vuelve al espacio

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Buzz Aldrin en la Luna
NASA Images at the Internet Archive

A principios de los años sesenta, la Unión Soviética se puso por delante en la carrera espacial. A finales de esa misma década, los Estados Unidos tomaron el relevo con el Proyecto Apolo, que en 1968 comenzó a lanzar vuelos tripulados (Apolo 7), en 1969 puso por primera vez dos hombres en la Luna (Apolo 11), y hasta diciembre de 1972 realizó cinco desembarcos lunares más, el último de los cuales fue el Apolo 17. Desde entonces, el hombre no ha vuelto a la Luna, salvo por el envío de cápsulas automáticas no tripuladas.

A partir de los años 80, la NASA cambió de táctica y comenzó a utilizar lanzaderas espaciales (space shuttles) para sus vuelos tripulados. Estas naves diferían de las anteriores porque la lanzadera era reutilizable: al volver a la Tierra podía aterrizar de manera semejante a la de un avión, en lugar de descender sobre el mar, como las cápsulas del proyecto Apolo. En total se construyeron cinco lanzaderas, que recibieron los nombres de Columbia, Challenger, Discovery, Atlantis y Endevour.