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| Copo de Nieve de von Koch |
En general, se suele clasificar los objetos geométricos
en función del número de sus dimensiones, así:
- Los puntos tienen cero dimensiones.
- Las líneas (rectas o curvas) tienen una dimensión.
- Las superficies tienen dos dimensiones.
- Los volúmenes tienen tres dimensiones.
Además,
los matemáticos trabajan a menudo con objetos que tienen más de tres
dimensiones, que nos resulta muy difícil imaginar.
A principios del siglo XX, el matemático sueco Helge von Koch descubrió una curva muy extraña (el copo de nieve de von Koch), que tiene las siguientes propiedades:
- Es continua en todos sus puntos, pero no
tiene derivada en ninguno.
- Aunque es una curva cerrada, su perímetro
es infinito.
- Aunque es una línea, su dimensión no es 1.
En 1919, el matemático H. Hausdorff propuso un
nuevo concepto de dimensión, que tendría aplicación para estas curvas dudosas y
serviría para distinguirlas de las líneas y las superficies corrientes. De
acuerdo con su definición, demasiado complicada para detallarla aquí, todas las
líneas corrientes, abiertas o cerradas, a las que estamos acostumbrados, tienen
dimensión igual a uno; todas las superficies corrientes, dimensión dos. Pero
las curvas parecidas al copo de nieve de von Koch pueden tener dimensión fraccionaria,
comprendida entre uno y dos. Por ejemplo, el copo de nieve de von Koch tiene la
siguiente dimensión: (log 4)/(log 3) = 1,2618595071429...
La
curva de von Koch no fue la primera curva rara que descubrieron los
matemáticos. A finales del siglo XIX, Giuseppe Peano ideó otra curva, aún más
extraña, que lleva su nombre, y que se obtiene como límite de un conjunto de curvas
sucesivas, la sexta de las cuales puede verse en la figura adjunta. Esta curva,
como todas las que la preceden y la siguen en la sucesión, es evidentemente una
línea que tiene un punto de partida y un punto final, situados en dos vértices
opuestos de un cuadrado. Un punto que se desplazase a lo largo de ella no
tendría libertad de movimiento más que en una dirección. Por lo tanto, parece
que se trata de un objeto de una sola dimensión. Pero también resulta evidente,
si observamos la sucesión de las curvas que la generan, que la línea acaba por llenar
el cuadrado. Tenemos aquí, por consiguiente, una línea que llena por completo
una superficie, sin dejar, aparentemente, de ser línea.
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| Sexta aproximación a la Curva de Peano |
¿Cuántas dimensiones tiene la curva de Peano? Por un lado, parece que una, porque es el límite de una sucesión de curvas cuya dimensión es 1. Por otro lado, parece que dos, puesto que la curva límite pasa por todos los puntos de un cuadrado. Y en efecto, si calculamos su dimensión de Hausdorff, sale igual a 2. La curva de Peano también es rara por no tener derivada en ninguno de sus puntos, pero esa es otra historia.
Muchos
años después de que Peano y von Koch descubrieran sus curvas, el matemático polaco-estadounidense
Benoit Mandelbrot propuso para estas curvas (y para otros objetos matemáticos)
el nombre de fractales.
Igual
que la curva de Peano, a pesar de ser una curva, llena una superficie y por lo
tanto tiene dimensión 2, existen superficies fractales que llenan volúmenes, y
por lo tanto tienen dimensión 3. Y existen volúmenes fractales que llenan todo
el espacio disponible, y por lo tanto puede decirse que tienen dimensión 4.
Observemos
la figura adjunta, que he sacado del libro Scale: The universal laws of life and death in
organisms, cities and companies, de Geoffrey West, del Instituto de Santa Fe. Representa la tasa de
metabolismo (en watios) de varias especies de aves y mamíferos, en función de
su masa corporal. Los dos ejes de la figura son logarítmicos, lo que significa
que la línea recta sobre la que se colocan aproximadamente las tasas de
metabolismo de todos los animales considerados es, en realidad, una curva de
potencia, cuyo exponente es la pendiente de la línea, que vale aproximadamente ¾.
West explica así el significado de la figura:
Los
elefantes pesan aproximadamente 10.000 veces más (cuatro órdenes de magnitud) que
las ratas; en consecuencia, tienen aproximadamente 10.000 veces más células. La
ley de escala de potencia ¾ dice que, a pesar de tener 10.000 veces más células
que sustentar, la tasa metabólica de un elefante (es decir, la cantidad de
energía necesaria para mantenerlo vivo) es sólo 1.000 veces mayor (tres órdenes
de magnitud) que el de una rata.
¿Cómo
se explica esto? Según West, porque el sistema circulatorio de las aves y los
mamíferos, formado por vasos sanguíneos que tienen estructura jerárquica, con
la aorta y las venas cavas en la cúspide, más diversos vasos de diámetro
decreciente, hasta terminar en los capilares de diámetro microscópico, tienen estructura
fractal en tres dimensiones. Todas las células del cuerpo reciben alimento
desde algún capilar próximo, por lo que la estructura de los vasos sanguíneos tiene
que llenar todo el espacio disponible (todo el volumen del cuerpo), como la
curva de Peano llena la superficie de un cuadrado. Por lo tanto, la dimensión
de Hausdorf de nuestro sistema circulatorio es igual a 4. Eso explicaría el exponente
¾ en el crecimiento del metabolismo en función de la masa corporal de las aves
y los mamíferos.
Seguiremos
hablando de esto la semana que viene.
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Manuel Alfonseca
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